Question

18．某數(shù)學(xué)興趣小組在用黑色圍棋進(jìn)行擺放圖案的游戲中，一同學(xué)擺放了如下圖案，請根據(jù)圖中信息完成下列的問題：

（1）填寫下表：

圖形編號(hào)	①	②	③	…	…
圖中棋子的總數(shù)	3	6	10	…	…

（2）第10個(gè)圖形中棋子為66顆圍棋；
（3）該同學(xué)如果繼續(xù)擺放下去，那么第n個(gè)圖案要用$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$顆圍棋；
（4）如果該同學(xué)手上剛好有90顆圍棋子，那么他按照這種規(guī)律從第①個(gè)圖案擺放下去，是否可以擺放成完整的圖案后剛好90顆圍棋子一顆不剩？如果可以，那么剛好擺放完成幾個(gè)完整的圖案？如果不行，那么最多可以擺放多少個(gè)完整圖案，還剩余幾顆子？（只答結(jié)果，不說明理由）

Answer 1

分析 （1）由圖可以得到表格中需要填寫的數(shù)據(jù)；
（2）由圖可知每個(gè)圖案需要的棋子數(shù)，從而可以求得第10個(gè)圖形中的棋子數(shù)；
（3）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)和圖案，可以發(fā)現(xiàn)這些圖形的規(guī)律，從而可以得到第n個(gè)圖案需要的棋子數(shù)；
（4）根據(jù)題意，可知排放的所有圖案的棋子總數(shù)不大于90，從而可以解答本題．

解答 解：（1）由圖可得，第一個(gè)圖案3顆棋子，
第二個(gè)圖案6顆棋子，
第三個(gè)圖案10顆棋子．
故答案為：6，10；
（2）由圖可得，第10個(gè)圖案中的棋子為：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66個(gè)，
故答案為：66；
（3）由圖可知：第一個(gè)圖案1+2顆棋子，
第二個(gè)圖案1+2+3顆棋子，
第三個(gè)圖案1+2+3+4顆棋子，
故第n個(gè)圖案的棋子為：1+2+3+…+（n+1）=$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$顆，
故答案為：$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$；
（4）不可以擺放成完整的圖案，
∵3+6+10+…+$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$≤90，n為正整數(shù)，
解得n=6，還剩余7個(gè)棋子，
即最多可以擺放6個(gè)完整圖案，還剩余7顆子．

點(diǎn)評 本題考查規(guī)律性：圖形的變化類，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，找出所求問題需要的條件．