Question

在矩形紙片ABCD中，AB=8，BC=20，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，沿過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)翻折，使點(diǎn)B落在邊AD上，折痕交矩形的一邊于G，則折痕FG=    ．

Answer 1

【答案】分析：過(guò)F作FE⊥AD于E，可得出四邊形ABFE為矩形，利用矩形的性質(zhì)得到AE=BF，AB=EF，分兩種情況考慮：（i）當(dāng)G在AB上，B′落在AE上時(shí)，如圖1所示，由折疊的性質(zhì)得到B′F=BF，BG=B′G，在直角三角形EFB′中，利用勾股定理求出B′E的長(zhǎng)，由AE-B′E求出AB′的長(zhǎng)，設(shè)AG=x，由AB-AG表示出BG，即為B′G，在直角三角形AB′G中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出AG的長(zhǎng)，進(jìn)而求出BG的長(zhǎng)，在直角三角形GBF中，利用勾股定理即可求出折痕FG的長(zhǎng)；（ii）當(dāng)G在AE上，B′落在ED上，如圖2所示，同理求出B′E的長(zhǎng)，設(shè)A′G=AG=y，由AE+B′E-AG表示出GB′，在直角三角形A′B′G中，利用勾股定理列出關(guān)于y的方程，求出方程的解得到y(tǒng)的值，求出AG的長(zhǎng)，由AE-AG求出GE的長(zhǎng)，在直角三角形GEF中，利用勾股定理即可求出折痕FG的長(zhǎng)，綜上，得到所有滿(mǎn)足題意的折痕FG的長(zhǎng)．
解答：解：分兩種情況考慮：
（i）如圖1所示，過(guò)F作FE⊥AD于E，G在AB上，B′落在AE上，可得四邊形ABFE為矩形，
∴EF=AB=8，AE=BF，
又BC=20，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，
∴由折疊可得：B′F=BF=BC=10，
在Rt△EFB′中，根據(jù)勾股定理得：B′E==6，
∴AB′=AE-B′E=10-6=4，
設(shè)AG=x，則有GB′=GB=8-x，
在Rt△AGB′中，根據(jù)勾股定理得：GB′²=AG²+AB′²，
即（8-x）²=x²+4²，
解得：x=3，
∴GB=8-3=5，
在Rt△GBF中，根據(jù)勾股定理得：GF==5；
（ii）如圖2所示，過(guò)F作FE⊥AD于E，G在AE上，B′落在ED上，可得四邊形ABFE為矩形，
∴EF=AB=8，AE=BF，
又BC=20，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，
∴由折疊可得：B′F=BF=BC=10，
在Rt△EFB′中，根據(jù)勾股定理得：B′E==6，
∴AB′=AE-B′E=10-6=4，
設(shè)AG=A′G=y，則GB′=AB′-AG=AE+EB′-AG=16-y，A′B′=AB=8，
在Rt△A′B′G中，根據(jù)勾股定理得：A′G²+A′B′²=GB′²，
即y²+8²=（16-y）²，
解得：y=6，
∴AG=6，
∴GE=AE-AG=10-6=4，
在Rt△GEF中，根據(jù)勾股定理得：GF==4，
綜上，折痕FG=5或4．
故答案為：5或4．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了翻折變換-折疊問(wèn)題，涉及的知識(shí)有：矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，利用了方程、轉(zhuǎn)化及分類(lèi)討論的思想，是一道綜合性較強(qiáng)的試題．