Question

【題目】問題探究

請在圖的正方形ABCD的對角線BD上作一點(diǎn)P，使最小；

如圖，點(diǎn)P為矩形ABCD的對角線BD上一動點(diǎn)，，，點(diǎn)E為BC邊的中點(diǎn)，請作一點(diǎn)P，使最小，并求這個最小值；

問題解決

如圖，李師傅有一塊邊長為1000米的菱形采摘園ABCD，米，BD為小路，BC的中點(diǎn)E為一水池，李師傅現(xiàn)在準(zhǔn)備在小路BD上建一個游客臨時休息納涼室P，為了節(jié)省土地，使休息納涼室P到水池E與大門C的距離之和最短，那么是否存在符合條件的點(diǎn)P？若存在，請作出點(diǎn)P的位置，并求出這個最短距離；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：見解析 的最小值為3；存在，且最短距離約為985米

【解析】

（1）利用兩點(diǎn)之間線段最短，即可得出結(jié)論；

（2）先確定出點(diǎn)P的位置，再求出∠CBD=30°，進(jìn)而判斷出△BCC'是等邊三角形，即可得出結(jié)論；

（3）先確定出點(diǎn)P的位置，再求出OA，OB，進(jìn)而利用面積求出AH，最后用勾股定理即可得出結(jié)論．

解：如圖，連接AC交BD于點(diǎn)P，則點(diǎn)P就是所要求作的點(diǎn)，

理由：在BD上任取一點(diǎn)異于點(diǎn)P的點(diǎn)Q，連接AQ，CQ，

；

如圖

，

作點(diǎn)C關(guān)于BD的對稱點(diǎn)C'，連接EC'交BD于點(diǎn)P，連接C'P，

∵點(diǎn)C與點(diǎn)C'關(guān)于BD的對稱點(diǎn)，

∴CP=C'P，

∴C'P+PE=C'P'+P'E=C'E，

在BD上任取異于點(diǎn)P的P'，連接P'E，P'C，C'P'，

∴C'P'+P'E=P'C+P'E＞C'E，

∴點(diǎn)P就是所要求作的點(diǎn)，EC'的長度PE+PC的最小值，

∵四邊形ABCD是矩形，，

，，

，

，

∵點(diǎn)C和點(diǎn)C'關(guān)于BD對稱，

設(shè)CC'交BD于G，

∴BD是CC'的垂直平分線，連接BC'，

∴∠C'BD=∠CBD=30°，BC'=BC，

∴∠C'BC=60°，

∴△BCC'是等邊三角形，

∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，

∴CE⊥BC，

，

，

即：的最小值為3；

存在，如圖，連接AE交BD于P，點(diǎn)P就是所要求作的點(diǎn)，AE的長度就是休息納涼室P到水池E與大門C的距離之和最短的值，

，

四邊形ABCD是菱形，

點(diǎn)C關(guān)于BD的對稱點(diǎn)為A，連接AE，交BD于P，點(diǎn)P就是所要求作的點(diǎn)，

米，米，于Q，

米，米，

過點(diǎn)A作于H，

，

米，

在中，根據(jù)勾股定理得，米，

米，

在中，米，

即：存在點(diǎn)P，且最短距離約為985米．