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        1. 【題目】如圖1,在正方形ABCD內(nèi)作∠EAF=45°,AE交BC于點E,AF交CD于點F,連接EF,過點A作AH⊥EF,垂足為H.

          (1)如圖2,將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG.
          ①求證:△AGE≌△AFE;
          ②若BE=2,DF=3,求AH的長.
          (2)如圖3,連接BD交AE于點M,交AF于點N.請?zhí)骄坎⒉孪耄壕段BM,MN,ND之間有什么數(shù)量關(guān)系?并說明理由.

          【答案】
          (1)

          解:①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知:AF=AG,∠DAF=∠BAG.

          ∵四邊形ABCD為正方形,

          ∴∠BAD=90°.

          又∵∠EAF=45°,

          ∴∠BAE+∠DAF=45°.

          ∴∠BAG+∠BAE=45°.

          ∴∠GAE=∠FAE.

          在△GAE和△FAE中 ,

          ∴△GAE≌△FAE.

          ②∵△GAE≌△FAE,AB⊥GE,AH⊥EF,

          ∴AB=AH,GE=EF=5.

          設(shè)正方形的邊長為x,則EC=x﹣2,F(xiàn)C=x﹣3.

          在Rt△EFC中,由勾股定理得:EF2=FC2+EC2,即(x﹣2)2+(x﹣3)2=25.

          解得:x=6.

          ∴AB=6.

          ∴AH=6.


          (2)

          解:如圖所示:將△ABM逆時針旋轉(zhuǎn)90°得△ADM′.

          ∵四邊形ABCD為正方形,

          ∴∠ABD=∠ADB=45°.

          由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知:∠ABM=∠ADM′=45°,BE=DM′.

          ∴∠NDM′=90°.

          ∴NM′2=ND2+DM′2

          ∵∠EAM′=90°,∠EAF=45°,

          ∴∠EAF=∠FAM′=45°.

          在△AMN和△ANM′中, ,

          ∴△AMN≌△ANM′.

          ∴MN=NM′.

          又∵BM=DM′,

          ∴MN2=ND2+BM2


          【解析】本題主要考查的是四邊形的綜合應(yīng)用,解答本題主要應(yīng)用了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理的應(yīng)用,正方形的性質(zhì),依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)構(gòu)造全等三角形和直角三角形是解題的關(guān)鍵.(1)①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知:AF=AG,∠DAF=∠BAG,接下來在證明∠GAE=∠FAE,然后依據(jù)SAS證明△GAE≌△FAE即可;②由全等三角形的性質(zhì)可知:AB=AH,GE=EF=5.設(shè)正方形的邊長為x,接下來,在Rt△EFC中,依據(jù)勾股定理列方程求解即可;(2)將△ABM逆時針旋轉(zhuǎn)90°得△ADM′.在△NM′D中依據(jù)勾股定理可證明NM′2=ND2+DM′2 , 接下來證明△AMN≌△ANM′,于的得到MN=NM′,最后再由BM=DM′證明即可.

          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】如圖,⊙O是△ABC的外接圓,BC是⊙O的直徑,∠ABC=30°,過點B作⊙O的切線BD,與CA的延長線交于點D,與半徑AO的延長線交于點E,過點A作⊙O的切線AF,與直徑BC的延長線交于點F.

          (1)求證:△ACF∽△DAE;
          (2)若SAOC= ,求DE的長;
          (3)連接EF,求證:EF是⊙O的切線.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】問題引入:

          (1)如圖①,在△ABC中,點O是∠ABC和∠ACB平分線的交點,若∠A=α,則∠BOC=(用α表示);如圖②,∠CBO= ∠ABC,∠BCO= ∠ACB,∠A=α,則∠BOC=(用α表示)拓展研究:
          (2)如圖③,∠CBO= ∠DBC,∠BCO= ∠ECB,∠A=α,請猜想∠BOC=(用α表示),并說明理由.
          類比研究:
          (3)BO、CO分別是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分線,它們交于點O,∠CBO= ∠DBC,∠BCO= ∠ECB,∠A=α,請猜想∠BOC=

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】如圖1,在正方形ABCD中,點E,F(xiàn)分別是邊BC,AB上的點,且CE=BF.連接DE,過點E作EG⊥DE,使EG=DE,連接FG,F(xiàn)C.

          (1)請判斷:FG與CE的數(shù)量關(guān)系是 , 位置關(guān)系是;
          (2)如圖2,若點E,F(xiàn)分別是邊CB,BA延長線上的點,其它條件不變,(1)中結(jié)論是否仍然成立?請作出判斷并給予證明;
          (3)如圖3,若點E,F(xiàn)分別是邊BC,AB延長線上的點,其它條件不變,(1)中結(jié)論是否仍然成立?請直接寫出你的判斷.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】如圖,已知△ABC的周長是16,OB、OC分別平分∠ABC∠ACB,OD⊥BCDOD=2,△ABC的面積是________________.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=10,AD=6,點M為AB上的一動點,將矩形ABCD沿某一直線對折,使點C與點M重合,該直線與AB(或BC)、CD(或DA)分別交于點P、Q

          (1)用直尺和圓規(guī)在圖甲中畫出折痕所在直線(不要求寫畫法,但要求保留作圖痕跡)
          (2)如果PQ與AB、CD都相交,試判斷△MPQ的形狀并證明你的結(jié)論;
          (3)設(shè)AM=x,d為點M到直線PQ的距離,y=d2 ,
          ①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并指出x的取值范圍;
          ②當直線PQ恰好通過點D時,求點M到直線PQ的距離.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】如圖,ABC,ABBC,BEAC,∠1=∠2,AD=AB則下列結(jié)論不正確的是

          A. BF=DF B. ∠1=∠EFD C. BF>EF D. FDBC

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          【題目】如圖,點E在正方形ABCD內(nèi),滿足∠AEB=90°,AE=6,BE=8,則陰影部分的面積是(

          A.48
          B.60
          C.76
          D.80

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】我校初三學(xué)子在不久前結(jié)束的體育中考中取得滿意成績,贏得2016年中考開門紅.現(xiàn)隨機抽取了部分學(xué)生的成績作為一個樣本,按A(滿分)、B(優(yōu)秀)、C(良好)、D(及格)四個等級進行統(tǒng)計,并將統(tǒng)計結(jié)果制成如下2幅不完整的統(tǒng)計圖,如圖,請你結(jié)合圖表所給信息解答下列問題:

          (1)將折線統(tǒng)計圖在圖中補充完整;此次調(diào)查共隨機抽取了名學(xué)生,其中學(xué)生成績的中位數(shù)落在等級;
          (2)為了今后中考體育取得更好的成績,學(xué)校決定分別從成績?yōu)闈M分的男生和女生中各選一名參加“經(jīng)驗座談會”,若成績?yōu)闈M分的學(xué)生中有4名女生,且滿分的男、女生中各有2名體育特長生,請用列表或畫樹狀圖的方法求出所選的兩名學(xué)生剛好都不是體育特長生的概率.

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