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        1. 【題目】1)如圖1,在矩形ABCD中,對角線ACBD相交于點O,過點O作直線EFBD,且交AD于點E,交BC于點F,連接BEDF,且BE平分∠ABD

          ①求證:四邊形BFDE是菱形;

          ②直接寫出∠EBF的度數(shù).

          2)把(1)中菱形BFDE進行分離研究,如圖2,GI分別在BF,BE邊上,且BGBI,連接GD,HGD的中點,連接FH,并延長FHED于點J,連接IJ,IH,IF,IG.試探究線段IHFH之間滿足的關(guān)系,并說明理由;

          3)把(1)中矩形ABCD進行特殊化探究,如圖3,矩形ABCD滿足ABAD時,點E是對角線AC上一點,連接DE,作EFDE,垂足為點E,交AB于點F,連接DF,交AC于點G.請直接寫出線段AGGE,EC三者之間滿足的數(shù)量關(guān)系.

          【答案】(1)詳見解析;②60°.(2)IHFH;(3)EG2AG2+CE2

          【解析】

          1)①由DOE≌△BOF,推出EOOF,∵OBOD,推出四邊形EBFD是平行四邊形,再證明EBED即可.

          ②先證明∠ABD2ADB,推出∠ADB30°,延長即可解決問題.

          2IHFH.只要證明IJF是等邊三角形即可.

          3)結(jié)論:EG2AG2+CE2.如圖3中,將ADG繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到DCM,先證明DEG≌△DEM,再證明ECM是直角三角形即可解決問題.

          1)①證明:如圖1中,

          ∵四邊形ABCD是矩形,

          ADBCOBOD,

          ∴∠EDO=∠FBO

          DOEBOF中,

          ∴△DOE≌△BOF,

          EOOF,∵OBOD,

          ∴四邊形EBFD是平行四邊形,

          EFBD,OBOD,

          EBED,

          ∴四邊形EBFD是菱形.

          ②∵BE平分∠ABD,

          ∴∠ABE=∠EBD,

          EBED,

          ∴∠EBD=∠EDB,

          ∴∠ABD2ADB,

          ∵∠ABD+ADB90°,

          ∴∠ADB30°,∠ABD60°,

          ∴∠ABE=∠EBO=∠OBF30°,

          ∴∠EBF60°

          2)結(jié)論:IHFH

          理由:如圖2中,延長BEM,使得EMEJ,連接MJ

          ∵四邊形EBFD是菱形,∠B60°,

          EBBFED,DEBF,

          ∴∠JDH=∠FGH

          DHJGHF中,

          ,

          ∴△DHJ≌△GHF

          DJFG,JHHF,

          EJBGEMBI,

          BEIMBF,

          ∵∠MEJ=∠B60°

          ∴△MEJ是等邊三角形,

          MJEMNI,∠M=∠B60°

          BIFMJI中,

          ,

          ∴△BIF≌△MJI

          IJIF,∠BFI=∠MIJ,∵HJHF,

          IHJF,

          ∵∠BFI+BIF120°,

          ∴∠MIJ+BIF120°,

          ∴∠JIF60°

          ∴△JIF是等邊三角形,

          RtIHF中,∵∠IHF90°,∠IFH60°,

          ∴∠FIH30°,

          IHFH

          3)結(jié)論:EG2AG2+CE2

          理由:如圖3中,將ADG繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到DCM,

          ∵∠FAD+DEF90°

          AFED四點共圓,

          ∴∠EDF=∠DAE45°,∠ADC90°,

          ∴∠ADF+EDC45°,

          ∵∠ADF=∠CDM,

          ∴∠CDM+CDE45°=∠EDG

          DEMDEG中,

          ∴△DEG≌△DEM,

          GEEM

          ∵∠DCM=∠DAG=∠ACD45°,AGCM

          ∴∠ECM90°

          EC2+CM2EM2,

          EGEMAGCM,

          GE2AG2+CE2

          練習冊系列答案
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          2)如圖2,當E,F分別在邊CD,BC的延長線上移動時,連接AE,DF,(1)中的結(jié)論還成立嗎?(請你直接回答,不需證明);連接AC,求ACE為等腰三角形時CECD的值;

          3)如圖3,當E,F分別在直線DC,CB上移動時,連接AEDF交于點P,由于點E,F的移動,使得點P也隨之運動,請你畫出點P運動路徑的草圖.AD=2,試求出線段CP的最大值.

          1 2 3

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          (1)畫出 ;
          (2)求出在這兩次變換過程中,點 經(jīng)過點 到達 的路徑總長;
          (3)求線段 旋轉(zhuǎn)到 所掃過的圖形的面積.

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          (1)求 的值及點 的坐標;
          (2)求 長及 的大。
          (3)若將⊙ 沿 軸上下平移,使其與 軸及直線 均相切,求平移的方向及平移的距離.

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