Question

【題目】已知圓內(nèi)一點到圓周上的點的最大距離是7，最小距離是5，則該圓的半徑是__________.

Answer 1

【答案】6

【解析】由題意，得

該圓的半徑為： . 理由如下.

如圖，設(shè)圓心為點O，該圓內(nèi)的點為點P，過點P作直徑CD，過點P作弦AB⊥CD.

不妨在圓周上任意取異于點D與點C的兩點D1，D2. 連接OD1，OD2，PD1，PD2.

設(shè)該圓的半徑為r，則OD=OC=OD1=OD2=r.

點P到點D的距離PD=OD-OP=r-OP，點P到點C的距離PC=OC+OP=r+OP.

∴PC>PD.

在△OPD1中，PD1>OD1-OP=r-OP=PD；在△OPD2中，PD2>OD2-OP=r-OP=PD.

∴PD1>PD，PD2>PD，PC>PD.

∴點P到點D的距離PD是點P與圓周上的點的最小距離.

在△OPD1中，PD1<OD1+OP=r+OP=PC；在△OPD2中，PD2<OD2+OP=r+OP=PC.

∴PD1<PC，PD2<PC，PD<PC.

∴點P到點C的距離PC是點P與圓周上的點的最大距離.

綜上所述，對于圓內(nèi)的一點，它到圓周上的點的最大距離與最小距離之和恰好等于圓的直徑，故該圓的半徑為上述最大距離與最小距離之和的一半.

故本題應(yīng)填寫：6.