Question

如圖，ABCD是一張矩形紙片，AD=BC=1，AB=CD=5．在矩形ABCD的邊AB上取一點(diǎn)M，在CD上取一點(diǎn)N，將紙片沿MN折疊，使MB與DN交于點(diǎn)K，得到△MNK．

（1）若∠1=70°，求∠MKN的度數(shù)；
（2）△MNK的面積能否小于

1

2

？若能，求出此時(shí)∠1的度數(shù)；若不能，試說明理由；
（3）如何折疊能夠使△MNK的面積最大？請你用備用圖探究可能出現(xiàn)的情況，求最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)求出∠KNM，∠KMN的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求解；
（2）過M點(diǎn)作ME⊥DN，垂足為E，通過證明NK＞1，由三角形面積公式可得△MNK的面積不可能小于

1

2

；
（3）分情況一：將矩形紙片對折，使點(diǎn)B與D重合，此時(shí)點(diǎn)K也與D重合；情況二：將矩形紙片沿對角線AC對折，此時(shí)折痕即為AC兩種情況討論求解．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AM∥DN．
∴∠KNM=∠1．
∵∠1=70°，
∴∠KNM=∠KMN=∠1=70°，
∴∠MKN=40°．

（2）不能．
過M點(diǎn)作ME⊥DN，垂足為E，則ME=AD=1．
∵∠KNM=∠KMN，
∴MK=NK，
又∵M(jìn)K≥ME，
∴NK≥1．
∴△MNK的面積=

1

2

NK•ME≥

1

2

．
∴△MNK的面積不可能小于

1

2

．

（3）分兩種情況：
情況一：將矩形紙片對折，使點(diǎn)B與D重合，此時(shí)點(diǎn)K也與D重合．
MK=MB=x，則AM=5-x．
由勾股定理得1²+（5-x）²=x²，
解得x=2.6．
∴MD=ND=2.6．
S_△MNK=S_△MND=

1×2.6

2

=1.3．
情況二：將矩形紙片沿對角線AC對折，此時(shí)折痕即為AC．
MK=AK=CK=x，則DK=5-x．
同理可得MK=NK=2.6．
∵M(jìn)D=1，
∴S_△MNK=

1×2.6

2

=1.3．
△MNK的面積最大值為1.3．

點(diǎn)評：本題考查了翻折變換（折疊問題），矩形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積計(jì)算，注意分類思想的運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)，有一點(diǎn)的難度．