Question

22、如圖，⊙O的直徑AB=4，C為圓周上一點，AC=2，過點C作⊙O的切線l，過點B作l的垂線BD，垂足為D，BD與⊙O交于點E．
（1）求∠AEC的度數；
（2）求證：四邊形OBEC是菱形．

Answer 1

分析：（1）∠AEC是弧AC所對的圓周角，而∠AOC是弧AC所對的圓心角，根據同弧所對的圓周角是圓心角的一半，只要求出∠AOC的度數，則∠AEC的度數可求．
（2）根據菱形的判定定理，一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，只要先證得四邊形OBEC是平行四邊形，而OB、OC都是圓的半徑，則四邊形OBEC是菱形．

解答：解：（1）在△AOC中，AC=2，
∵AO=OC=2，
∴△AOC是等邊三角形，（2分）
∴∠AOC=60°，
∴∠AEC=30°．（4分）

證明：（2）∵OC⊥l，BD⊥l，
∴OC∥BD，（5分）
∴∠ABD=∠AOC=60°；
∵AB為⊙O的直徑，
∴△AEB為直角三角形，∠EAB=30°，（7分）
∴∠EAB=∠AEC，
∴CE∥AB，
∴四邊形OBEC為平行四邊形；（8分）
又∵OB=OC=2，
∴四邊形OBEC是菱形．（9分）

點評：本題主要考查了等邊三角形的判定、圓周角與圓心角的關系，平行四邊形的判定及菱形的判定．