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        1. 【題目】如圖1RtABC中,點DE分別為直角邊AC,BC上的點,若滿足AD2+BE2DE2,則稱DERABC完美分割線.顯然,當DE為△ABC的中位線時,DE是△ABC的一條完美分割線.

          1)如圖1,AB10,cosAAD3,若DE為完美分割線,則BE的長是   

          2)如圖2,對AC邊上的點D,在RtABC中的斜邊AB上取點P,使得DPDA,過點PPEPDBC于點E,連結DE,求證:DE是直角△ABC的完美分割線.

          3)如圖3,在RtABC中,AC10,BC5,DE是其完美分割線,點P是斜邊AB的中點,連結PDPE,求cosPDE的值.

          【答案】1;(2)詳見解析;(3

          【解析】

          1)根據(jù)題意求出BC的長,設BEx,則CE6x,由勾股定理得DE2CD2+CE252+6x2,代入到AD2+BE2DE2中即可求出BE

          2)現(xiàn)根據(jù)題意找出EP=EB,再由勾股定理得出DP2+EP2DE2=AD2+BE2DE是直角△ABC的完美分割線.

          3)本題需做輔助線:延長DPF,使PFPD,連接BFEF,根據(jù)題意得出EDEF

          再過點PPMAC,PNBC,證明△MPD∽△NPE,設PDa,則PE2a,求出DE,即可求出cosPDE的值.

          解:(1)∵AB10,cosA,

          cosA

          AC8,CD5

          ∴BC=6,

          BEx,則CE6x,

          RtCDE中,DE2CD2+CE252+6x2,

          DE為完美分割線,

          AD2+BE2DE2,

          32+x252+6x2,

          解得:x

          BE

          故答案為:

          2)證明:如圖2

          DADP,

          ∴∠DAP=∠DPA,

          PEPD,

          ∴∠DPA+EPB90°,

          又∠A=∠B

          ∴∠EPB=∠B,

          EPEB,

          AD2+BE2DP2+EP2DE2,

          DE是直角△ABC的完美分割線.

          3)解:延長DPF,使PFPD,連接BF,EF,

          APBP,∠APD=∠BPF,

          ∴△APD≌△BPFSAS),

          ADBF,∠A=∠FBP,

          ∴∠EBF=∠CBA+FBP=∠CBA+A90°,

          DE是完美分割線,

          DE2AD2+BE2BF2+BE2EF2,即EDEF

          PDPF,

          ∴∠EPD90°

          過點PPMAC,PNBC,

          則∠MPD=∠NPE90°﹣∠MPE,

          ∴△MPD∽△NPE,

          PDa,則PE2a,則DEa

          cosPDE

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