Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（0，1）在y軸上，點(diǎn)B（3，0）在x軸上，M（x，0）是線段OB上一動(dòng)點(diǎn)，N是x軸上方一動(dòng)點(diǎn)，且滿足：ON=OA，MN=MB．

（1）求直線AB的解析式；
（2）若△OMN為直角三角形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）在（2）的情況下，當(dāng)x=

5

3

時(shí)，判斷點(diǎn)N與直線AB的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，把AB兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可；
（2）由△OMN為直角三角形，OM、ON、MN都可能為斜邊，需要分三種情況討論，去掉沒解的情況，即得答案；
（3）由（2）得，當(dāng)x=

5

3

時(shí)，△OMN是以MO為斜邊的直角三角形，求出N點(diǎn)的坐標(biāo)將其代入直線AB的解析式y=-

1

3

x+1，恰好能使等式成立，即可判定點(diǎn)N在直線AB上．

解答：解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b
∵A（0，1），B（3，0）
∴

0×k+b=1 3×k+b=0

解得：

k=- 1 3 b=1

（2分）
∴直線AB的解析式為y=-

1

3

x+1（3分）

（2）由題意可得，ON=OA=1，MN=MB=3-x（4分）
∵△OMN為直角三角形
①若ON為斜邊，則1=x²+（3-x）²，即x²-3x+4=0，無解（5分）
②若MO為斜邊，則x²=（3-x）²+1，解得x=

5

3

（6分）
③若MN為斜邊，則（3-x）²=1+x²，解得x=

4

3

（7分）
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(

5

3

，0)或(

4

3

，0)（9分）

（3）當(dāng)x=

5

3

時(shí)，由（2）知此時(shí)△OMN是以MO為斜邊的直角三角形（10分）
且MO=x=

5

3

，MN=MB=3-x=

4

3

過N作NE⊥OB于E，
∴

1

2

×ON×MN=

1

2

×OM×NE
∴NE=

4

5

∴OE=

ON2-NE2

=

3

5

，
即N(

3

5

，

4

5

)（12分）
當(dāng)x=

3

5

時(shí)，-

1

3

x+1=

4

5

，
∴點(diǎn)N(

3

5

，

4

5

)在直線y=-

1

3

x+1上
即當(dāng)x=

5

3

時(shí)，N在直線AB上．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題是函數(shù)與三角形相結(jié)合的問題，在圖形中滲透運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)是中考中經(jīng)常出現(xiàn)的問題．