Question

如圖，AC是⊙O的直徑，AB與⊙O相切于點(diǎn)A，四邊形ABCD是平行四邊形，BC交⊙O于點(diǎn)E．
（1）判斷直線CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若⊙O的半徑為5cm，弦CE的長(zhǎng)為8cm，求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，易得∠BAC=90°，又由四邊形ABCD是平行四邊形，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)AB∥CD，可得∠BAC=∠DCA=90°，故直線CD與⊙O相切，
（2）連接AE，易得△CAE∽△CBA，進(jìn)而可得

CE

AE

=

AC

AB

，在Rt△AEC中，由勾股定理可得AE的值，代入關(guān)系式，可得答案．

解答：解：（1）直線CD與⊙O相切，
理由：∵AC是⊙O的直徑，AB與⊙O相切于點(diǎn)A，
∴AC⊥AB，
又∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴AC⊥CD，
∴直線CD與⊙O相切；

（2）連接AE，
∵AC為圓的直徑，
∴∠AEC=90°，
∵AB與⊙O相切于點(diǎn)A，
∴AC⊥AB，
∴∠BAC=90°，
∴∠AEC=∠BAC=90°，
又∵∠ACE=∠BCA，
∴△CAE∽△CBA，
∴

CE

AE

=

AC

AB

①，
又∵AC=2AO=10cm，EC=8cm，
∴根據(jù)勾股定理可得，AE=

AC2-EC2

=6（cm），
代入關(guān)系式①得，

8

6

=

10

AB

，
解得AB=7.5cm．

點(diǎn)評(píng)：主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，以及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)和直線與圓的位置關(guān)系．