Question

已知直線y=ax+b（a≠0）與反比例函數(shù)y=

k

x

(k≠0)交于A、B兩點(diǎn)，其中A（-1，-2）與B（2，n），
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）求△AOB的面積；
（3）若點(diǎn)C（-1，0），則在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)D，使得以A，B，C，D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將A坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中求出k的值，確定出反比例函數(shù)解析式；將B坐標(biāo)代入反比例解析式中求出n的值，確定出B的坐標(biāo)，將A與B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式中求出a與b的值，即可確定出一次函數(shù)解析式；
（2）設(shè)直線與x軸交于C點(diǎn)，求出C坐標(biāo)，確定出OC的長，三角形AOB的面積等于三角形AOC與三角形BOC面積之和，求出即可；
（3）存在點(diǎn)D，使得以A，B，C，D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，如圖所示，求出D坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）將A（-1，-2）代入反比例解析式得：-2=

k

-1

，即k=2，
故反比例函數(shù)解析式為y=

2

x

；
將B（2，n）代入反比例解析式得：n=

2

2

=1，即B（2，1），
將A與B坐標(biāo)代入直線解析式得：

2a+b=1 -a+b=-2

，
解得：

a=1 b=-1

．
故直線解析式為y=x-1；

（2）設(shè)直線與x軸交點(diǎn)為E點(diǎn)，對于y=x-1，令y=0，求出x=1，即E（1，0），
則OE=1，
則S_△AOB=S_△EOC+S_△AOC=

1

2

OE•|y_{B縱坐標(biāo)}|+

1

2

OE•|y_{A縱坐標(biāo)}|=

1

2

+1=

3

2

；

（3）存在點(diǎn)D，使得以A，B，C，D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，理由為：
如圖所示，四邊形ACD₁B，四邊形ACBD₂，四邊形ABCD₃都為平行四邊形，
∵A（-1，-2），C（-1，0），
∴AC=2，
∴BD₁=BD₂=2，
∴D₁（2，3），D₂（2，-1），
由C（-1，0），A（-1，-2），D₁（2，3），D₂（2，-1），
得到直線CD₁解析式為y-3=

3-0

2+1

（x-2），即y=x+1，直線AD₂解析式為y+1=

-1+2

2+1

（x-2），即y=

1

3

x-

5

3

，
聯(lián)立兩直線解析式得：

y=x+1 y= 1 3 x- 5 3

，
解得：

x=-4 y=-3

，
∴D₃（-4，-3），
綜上，存在點(diǎn)D，使得以A，B，C，D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，其坐標(biāo)為：D₁（2，3），D₂（2，-1），D₃（-4，-3）．

點(diǎn)評：此題考查了反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：平行四邊形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式，兩直線的交點(diǎn)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，以及三角形面積求法，是一道中檔題．