Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，PB為⊙O的切線，B為切點(diǎn)，OP⊥弦BC于點(diǎn)D且交⊙O于點(diǎn)E．

（1）求證：∠OPB=∠AEC；

（2）若點(diǎn)C為半圓的三等分點(diǎn)，請(qǐng)你判斷四邊形AOEC為哪種特殊四邊形？并說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，PB為⊙O的切線，

∴PB⊥AB．

∴∠OPB+∠POB=90°．

∵OP⊥BC，

∴∠ABC+∠POB=90°．

∴∠ABC=∠OPB．

又∵∠AEC=∠ABC，

∴∠OPB=∠AEC．

（2）解：四邊形AOEC是菱形．

∵OP⊥弦BC于點(diǎn)D且交⊙O于點(diǎn)E，∴=．

∵C為半圓ACB¯的三等分點(diǎn)，∴==．

∴∠ABC=∠ECB．∴AB∥CE．

∵AB是⊙O的直徑，∴AC⊥BC．

又　OP⊥弦BC于點(diǎn)D且交⊙O于點(diǎn)E，

∴AC∥OE．∴四邊形AOEC是平行四邊形．

又　OA=OE，∴四邊形AOEC是菱形．

【解析】（1）找中間量∠ABC，利用等角的余角相等證∠ABC=∠OPB，同弧所對(duì)的圓周角相等即可

（2）利用用一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形及兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形即可。