Question

如圖（1），直線y=kx+1與y軸正半軸交于A，與x軸正半軸交于B，以AB為邊作正方形ABCD．
（1）若C（3，m），求m的值； 
（2）如圖2，連AC，作BM⊥AC于M，E為AB上一點，CE交BM于F，若BE=BF，求證：AC+AE=2AB；
（3）經(jīng)過B、C兩點的⊙O₁交AC于S，交AB的延長線于T，當⊙O₁的大小發(fā)生變化時，

AS-CS

BT

的值變嗎？若不變證明并求其值；若變化，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）作CE⊥x軸于E，可證△OAB≌△EBC，再根據(jù)線段相互間的關(guān)系即可求出CE的長，即m的值；
（2）作GE⊥x軸于G，可以通過先求出AE與EB的關(guān)系，證明結(jié)論；
（3）連接CT，ST，ST交BC于M，可知

AS-CS

BT

的值為45°余弦的倒數(shù)，從而求解．

解答：解：（1）作CE⊥x軸于E，
易證△OAB≌△EBC，
∴OB=OE-BE=3-OA=2，
∴CE=2，即m=2；
（2）作GE⊥x軸于G，
∵BE=BF，
∴∠1=∠2，
∵∠2=∠MFC，∠MFC+∠3=90°，∠4+∠1=90°
∴∠3=∠4，
∴EG=GB，
AE=

2

EB，
∴AC=

2

AB，
∵AE+EB=AB，
∴AE=（2-

2

）AB，
∴AC+AE=2AB；
（3）連接CT，ST，ST交BC于M，
則AS=TS，SC=SM，∠STA=45°，
∴AS-CS=MT，
∴

AS-CS

BT

=

1

BT MT

=

1

COS45°

=

2

．
故

AS-CS

BT

的值不變．

點評：考查了一次函數(shù)綜合題，考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理和三角函數(shù)的知識，難度較大．