Question

【題目】如圖，AB是半圓O的直徑，C是AB延長線上一點，CD與半圓O相切于點D，連接AD，BD．

（1）求證：∠BAD＝∠BDC；

（2）若sin∠BDC＝，BC＝2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）3

【解析】

（1）連接OD，如圖，先由切線的性質得∠ODB+∠BDC=90°，再由圓周角定理得到∠ODB+∠ODA=90°，則∠BDC=∠ODA，加上∠ODA=∠BAD，然后等量代換即可得到結論；
（2）利用正弦定義得sin∠A=sin∠BDC=，設BD=x，AB=5x，則AD=2x，然后證明△CBD∽△CDA，則利用相似比可計算出CD和AB，從而得到圓的半徑．

（1）證明：連接OD，如圖，

∵CD與半圓O相切于點D，

∴OD⊥CD，

∴∠ODC＝90°，即∠ODB+∠BDC＝90°，

∵AB是半圓O的直徑，

∴∠BDA＝90°，即∠ODB+∠ODA＝90°，

∴∠BDC＝∠ODA，

∵OD＝OA，

∴∠ODA＝∠BAD，

∴∠BAD＝∠BDC；

（2）解：∵sin∠A＝sin∠BDC＝，

∴，

設BD＝x，AB＝5x，則AD＝＝2x，

∵∠BAD＝∠BDC，∠BCD＝∠DCA，

∴△CBD∽△CDA，

∴，

而BC＝2，

∴CD＝4，AC＝8，

∴AB＝AC﹣BC＝6，

∴⊙O的半徑位3．