Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，坐標原點O是菱形ABCD的對稱中心．邊AB與x軸平行，點B（1，-2），反比例函數(shù) （k≠0）的圖象經過A，C兩點．

（1）求點C的坐標及反比例函數(shù)的解析式．
（2）直線BC與反比例函數(shù)圖象的另一交點為E，求以O，C，E為頂點的三角形的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：連結AC，BD，

∵坐標原點O是菱形ABCD的對稱中心，
∴AC，BD相交于點O，
且∠AOB=90°，
∵B（1，﹣2），且AB∥x軸，
∴設A（a，﹣2），則AO2=a2+4，BO2=5，AB2=（1﹣a）2 ，
在Rt△AOB中，由勾股定理得（1﹣a）2=a2+4+5，解得a=﹣4，
∴A（﹣4，﹣2），∴C（4，2），
∵反比例函數(shù) （k≠0）的圖象經過A，C兩點，
∴反比例函數(shù)解析式為 ；
（2）解：連結OE，則△OCE是以O，C，E為頂點的三角形，設直線BC的解析式為y=kx+b，
∵點B（1，﹣2），C（4，2）在該直線上，
∴ ，解得： ，
∴直線BC的解析式為 ，設其與y軸交于點F（0， ），
∵反比例函數(shù)為 ，∴ ，解得x1=4，x2= ，
∴點E的橫坐標為 ，
∴以O，C，E為頂點的三角形的面積= = ．
【解析】（1）連結AC，BD，根據(jù)坐標原點O是菱形ABCD的對稱中心，可得AC，BD相交于點O，根據(jù)菱形的性質得出∠AOB=90°，根據(jù)B（1，-2），且AB∥x軸，可設A（a，-2），則AO2=a2+4，BO2=5，AB2=（1-a）2 ， 在Rt△AOB中，由勾股定理可得點A、C的坐標，再根據(jù)待定系數(shù)法可求反比例函數(shù)解析式。
（2）連結OE，則△OCE是以O，C，E為頂點的三角形，利用待定系數(shù)法求出直線BC的函數(shù)解析式，再求出直線BC與y軸的交點坐標，然后將反比例函數(shù)和直線BC聯(lián)立方程組，求解得出點E的坐標，再根據(jù)三角形的面積公式計算即可得出答案。
【考點精析】本題主要考查了確定一次函數(shù)的表達式和勾股定理的概念的相關知識點，需要掌握確定一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能正確解答此題．