Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于E，F(xiàn)是CE上的一點(diǎn)，且FC=FA，延長(zhǎng)AF交⊙O于G，連接CG．
（1）試判斷△ACG的形狀（按邊分類(lèi)），并證明你的結(jié)論；
（2）若⊙O的半徑為5，OE=2，求CF•CD之值．

Answer 1

分析：（1）△ACG是等腰三角形，只要證明∠G=∠CAG，可以轉(zhuǎn)化為證明

AD

=

AC

即可．
（2）連接AD，BC，易證△ACF∽△DCA，得到AC：CD=CF：AC，即AC²=CF•CD．再根據(jù)垂徑定理得到AC²=AE²+CE²就可以求出．

解答：解：（1）△ACG是等腰三角形．
證明如下：
∵CD⊥AB，∴

AD

=

AC

．（1分）
∴∠G=∠ACD，（2分）
∵FC=FA，
∴∠ACD=∠CAG，（3分）
∴∠G=∠CAG，
∴△ACG是等腰三角形．（4分）

（2）連接AD，BC，（5分）
由（1）知

AC

=

AD

，
∴AC=AD．
∴∠D=∠ACD，（6分）
∴∠D=∠G=∠CAG，
又∵∠ACF=∠DCA，
∴△ACF∽△DCA，（7分）
∴AC：CD=CF：AC，
即AC²=CF•CD，（8分）
∵CD⊥AB，（9分）
∴AC²=AE²+CE²=（5-2）²+（5²-2²）=30．（11分）
∴CF•CD=30．（12分）

點(diǎn)評(píng)：證明等腰三角形可以依據(jù)等角對(duì)等角證明；第二問(wèn)中利用了相似三角形的性質(zhì)和垂徑定理的推論．