Question

已知：反比例函數(shù)y=

2

x

和y=

8

x

在平面直角坐標(biāo)系xOy第一象限中的圖象如圖所示，點(diǎn)A在y=

8

x

的圖象上，AB∥y軸，與y=

2

x

的圖象交于點(diǎn)B，AC、BD與x軸平行，分別與y=

2

x

、y=

8

x

的圖象交于點(diǎn)C、D．
（1）若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，求直線CD的解析式：
（2）若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m，梯形ACBD的對(duì)角線的交點(diǎn)F，求

S△OBC

S梯形ACBD

的值．

Answer 1

分析：（1）先利用點(diǎn)A在y=

8

x

的圖象上可確定A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4），則根據(jù)AC∥x軸，AB∥y軸得到C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，再利用C、B在y=

2

x

的圖象上可確定C點(diǎn)坐標(biāo)為（

1

2

，4），B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）；由于BD∥x軸，則D點(diǎn)的縱坐標(biāo)與B的縱坐標(biāo)相等，根據(jù)D點(diǎn)在y=

8

x

的圖象上可確定D點(diǎn)坐標(biāo)為（8，1），然后利用待定系數(shù)法求出直線CD的解析式；
（2）作CM⊥y軸于M，BN⊥y軸于N，與（1）的方法一樣可確定A點(diǎn)坐標(biāo)為（m，

8

m

），C點(diǎn)坐標(biāo)為（

m

4

，

8

m

），B點(diǎn)坐標(biāo)為（m，

2

m

），D點(diǎn)坐標(biāo)為（4m，

2

m

），根據(jù)比例系數(shù)的幾何意義得到S_△OCN=S_△OBM=1，根據(jù)梯形的面積公式得到S_梯形BMNC=

15

4

，S_梯形ACBD=

45

4

；再利用S_{四邊形BONC}=S_△ONC+S_△OBC=S_梯形BMNC+S_△OBM得S_△OBC=S_梯形BMNC=

15

4

，最后計(jì)算

S△OBC

S梯形ACBD

的值．

解答：解：（1）把x=2代入y=

8

x

得y=4，則A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4），
∵AC∥x軸，AB∥y軸，
∵C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，
把y=4代入y=

2

x

得x=

1

2

；把x=2代入y=

2

x

得y=1，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（

1

2

，4），B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），
∵BD∥x軸，
∴D點(diǎn)的縱坐標(biāo)與B的縱坐標(biāo)相等，
把y=1代入y=

8

x

得x=8，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（8，1），
設(shè)直線DC的解析式為y=kx+b，
把C（

1

2

，4）、D（8，1）代入

1 2 k+b=4 8k+b=1

，解得

k=- 2 5 b= 21 5

，
∴直線DC的解析式為y=-

2

5

x+

21

5

；

（2）作CM⊥y軸于M，BN⊥y軸于N，如圖，
當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m，與（1）的方法一樣可確定A點(diǎn)坐標(biāo)為（m，

8

m

），C點(diǎn)坐標(biāo)為（

m

4

，

8

m

），B點(diǎn)坐標(biāo)為（m，

2

m

），D點(diǎn)坐標(biāo)為（4m，

2

m

），
∴AC=m-

m

4

=

3m

4

，BD=4m-m=3m，AB=

8

m

-

2

m

=

6

m

，
∴S_梯形ACBD=

1

2

（

3m

4

+3m）•

6

m

=

45

4

；
∵S_△OCN=S_△OBM=

1

2

×2=1，S_梯形BMNC=

1

2

（

3m

4

+m）•

6

m

=

15

4

，
而S_{四邊形BONC}=S_△ONC+S_△OBC=S_梯形BMNC+S_△OBM，
∴S_△OBC=S_梯形BMNC=

15

4

，
∴

S△OBC

S梯形ACBD

=

15 4

45 4

=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、比例系數(shù)的幾何意義和待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式；記住梯形的面積公式和運(yùn)用幾何圖形的面積和差求不規(guī)則幾何圖形的面積．