Question

操作實(shí)驗(yàn)：

如圖，把等腰三角形沿頂角平分線對(duì)折并展開，發(fā)現(xiàn)被折痕分成的兩個(gè)三角形成軸對(duì)稱．
所以△ABD≌△ACD，所以∠B=∠C．
歸納結(jié)論：如果一個(gè)三角形有兩條邊相等，那么這兩條邊所對(duì)的角也相等．
根據(jù)上述內(nèi)容，回答下列問題：
思考驗(yàn)證：如圖（4），在△ABC中，AB=AC．試說明∠B=∠C的理由；

探究應(yīng)用：如圖（5），CB⊥AB，垂足為B，DA⊥AB，垂足為A．E為AB的中點(diǎn)，AB=BC，CE⊥BD．
（1）BE與AD是否相等，為什么？
（2）小明認(rèn)為AC是線段DE的垂直平分線，你認(rèn)為對(duì)嗎？說說你的理由；
（3）∠DBC與∠DCB相等嗎試？說明理由．

Answer 1

分析：思考驗(yàn)證：作等腰三角形底邊上的高，構(gòu)造全等三角形．
（1）BE與AD在兩個(gè)直角三角形中，證這兩個(gè)直角三角形全等即可；
（2）可證點(diǎn)A，C在線段DE的垂直平分線上．注意結(jié)合（1）的結(jié)論，利用全等證明即可；
（3）由第二問的垂直平分線的性質(zhì)，得到CD=CE，由第一問的全等得到DB=CE，那么CD=BD，所以∠DBC=∠DCB．

解答：解：思考驗(yàn)證：

過A點(diǎn)作AD⊥BC于D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，

AB=AC AD=AD

，
∴△ABD≌△ACD（HL），
∴∠B=∠C；

探究應(yīng)用：

（1）說明：因?yàn)锽D⊥EC，
∴∠CEB+∠1=90°，
∠1+∠ADB=90°，
∴∠ADB=∠BEC，
在△ADB和△BEC中

∠ADB=∠BEC AB=BC ∠DAB=∠EBC=90°

，
∴△DAB≌△EBC（ASA）．
∴DA=BE．

（2）∵E是AB中點(diǎn)，
∴AE=BE．
∵AD=BE，
∴AE=AD．
在△ABC中，因?yàn)锳B=BC，
∴∠BAC=∠BCA．
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA．
∴∠BAC=∠DAC．
在△ADC和△AEC中，

AD=AE ∠DAC=∠EAC AC=AC

，
∴△ADC≌△AEC（SAS）．
∴DC=CE．
∴C在線段DE的垂直平分線上．
∵AD=AE，
∴A在線段DE的垂直平分線上．
∴AC垂直平分DE．

（3）∵AC是線段DE的垂直平分線，
∴CD=CE．
∵△ADB≌△BEC，
∴DB=CE．
∴CD=BD．
∴∠DBC=∠DCB．

點(diǎn)評(píng)：做等腰三角形的底邊上的高是常用的輔助線方法．當(dāng)線段在兩個(gè)三角形中時(shí)，一般要證明這兩條線段所在的三角形全等；證明在同一個(gè)三角形中的兩個(gè)角相等時(shí)，要利用等邊對(duì)等角這個(gè)知識(shí)點(diǎn)．