Question

閱讀探究題：如圖1，四邊形ABCD是正方形（正方形的四邊相等，四個角都是直角），點E是邊BC的中點．∠AEF=90°，且EF交∠DCG的平分線CF于點F，



（1）求出角∠ECF的度數(shù)？
（2）求證：AE=EF．
（3）如圖2，如果把“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上（除B，C外）的任意一點”，其它條件不變，那么結論“AE=EF”仍然成立，你認為這樣的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由．

Answer 1

（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°=∠DCG，
∵CF平分∠DCG，
∴∠DCF=

1

2

∠DCG=45°，
∴∠FCE=90°+45°=135°；
（2）證明：取AB中點M，連接EM，


∵AB=BC，E為BC中點，M為AB中點，
∴AM=CE=BE，
∴∠BME=∠BME=45°，
∴∠AME=135°=∠ECF，
∵∠B=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEC=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
在△AME和△ECF中

∠MAE=∠CEF AM=EC ∠AME=∠ECF

，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE=EF；
（3）正確，
理由是：在AB上截取BM=BE，連接ME，
∵∠B=90°，
∴∠BME=∠BEM=45°，
∴∠AME=135°=∠ECF，
∵AB=BC，BM=BE，
∴AM=EC，
在△AME和△ECF中

∠MAE=∠CEF AM=EC ∠AME=∠ECF

，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE=EF．