Question

如下圖，平行四邊形ABCD中，EF過AC的中點(diǎn)O，與邊AD、BC分別相交于點(diǎn)E、F。
（1）試說明四邊形AECF是平行四邊形；
（2）若EF與AC垂直，試說明四邊形AECF是菱形；
（3）當(dāng)EF與AC有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系時，四邊形AECF是矩形（不必證明）。

Answer 1

解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴BC∥AD
∴AE∥CF
∴∠OAE=∠OCF
∵點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)
∴OA=OC在△AOE和△COF中，
∠AOE=∠COF，OA=OC，∠OAE=∠OCF
∴△AOE≌△COF
∴AE=CF
∵AE∥CF
∴四邊形AECF是平行四邊形；
（2）∵四邊形AECF是平行四邊形
∴EF與AC互相平分
∵EF與AC垂直
∴四邊形AECF是菱形；
（3）當(dāng)EF平分AC且等于AC時，四邊形AECF是矩形。