Question

如圖，矩形紙片ABCD中，AB=5，BC=3，點(diǎn)E在AD邊上，將紙片沿BE折疊，使點(diǎn)A落在CD邊上的F處．下列結(jié)論中：
①DE=

4

3

；②tan∠EBF=

1

3

；③四邊形ABFE的面積是矩形ABCD的面積的一半；④若在折痕BE上有點(diǎn)Q，使得△BFQ為等腰三角形，則EQ必然為

5

3

10

-5；⑤若在折痕BE上有點(diǎn)P到邊CD的距離與到點(diǎn)A的距離相等，則此相等距離為1.8．以上結(jié)論一定正確的個(gè)數(shù)為（　�。�

A．2個(gè)

B．3個(gè)

C．4個(gè)

D．5個(gè)

Answer 1

分析：首先計(jì)算出CF的長(zhǎng)，再在△DEF中用勾股定理即可算出DE的長(zhǎng)，進(jìn)而判斷出①的正誤；根據(jù)①中計(jì)算的DE的長(zhǎng)，可以表示出EF和AE的長(zhǎng)，進(jìn)而可以表示出tan∠EBF，可判斷出②的正誤；根據(jù)前面計(jì)算的AE長(zhǎng)，計(jì)算出四邊形ABFE的面積，再計(jì)算出矩形ABCD的面積，可判斷出③的正誤；在折痕BE上有點(diǎn)Q，使得△BFQ為等腰三角形可有兩種情況，一種情況一定錯(cuò)誤；再由翻折變換的性質(zhì)得出F、A′重合，分別延長(zhǎng)BE，DC相交于點(diǎn)G，由平行線的性質(zhì)可得出GA′=BA′=AB=5，再根據(jù)相似三角形的判定定理得出△BCG∽△PA′G，求出其相似比，進(jìn)而可求出答案．

解答：解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴DC=AB=5，AD=BC=3，
根據(jù)折疊可得BF=AB=5，
在Rt△BFC中：FC=

FB2-BC2

=

25-9

=4，
則DF=5-4=1，
設(shè)DE=x，則AE=EF=3-x，
1²+x²=（3-x）²，
解得：x=

4

3

，故①正確；

∵ED=

4

3

，AD=3，
∴AD=EF=3-

4

3

=

5

3

，
tan∠EBF=

EF

FB

=

5 3

5

=

1

3

，故②正確；

根據(jù)折疊可得四邊形ABFE的面積=2S_△ABE=2×

1

2

×AB×AE=2×

1

2

×5×

5

3

=

25

3

，
是矩形ABCD的面積=3×5=15，
故③錯(cuò)誤；

在折痕BE上有點(diǎn)Q，使得△BFQ為等腰三角形可有兩種情況：
一種是BF=BQ，另一種是QF=QB，
故④錯(cuò)誤；

如圖所示，設(shè)PF⊥CD，
∵AP=FP，
由翻折變換的性質(zhì)可得AP=A′P，
∴FP=A′P，
∴FP⊥CD，
∴A′，F(xiàn)，P三點(diǎn)構(gòu)不成三角形，
∴F，A′重合分別延長(zhǎng)BE，DC相交于點(diǎn)G，
∵AB平行于CD，
∴∠ABG=∠BGC，
∵∠ABG=∠A′BG，BGD=∠A′BG，
∴GA′=BA′=AB=5，
∵PA′（PF）⊥CD，
∴PA′∥BC，
∴△BCG∽△PA′G，
∵Rt△BCA′中，BA′=5，BC=3，
∴CA′=4，CG=CA′+A′G=3+5=9，
∴△BCG與△PA′G的相似比為9：5，
∴BC：PA′=9：5，
∵BC=3，
∴PA′=

5

3

，即相等距離為

5

3

，故⑤錯(cuò)誤．
故正確的有2個(gè)．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圖形翻折變換的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意畫出圖形，作出輔助線，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．