Question

在等腰三角形ABC中，三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且a=3，b，c是關(guān)于x的方程x²+mx+2-

1

2

m=0的兩個(gè)根，則三角形ABC的周長(zhǎng)等于

 

．

Answer 1

分析：等腰三角形ABC中a可能是底邊，也可能是腰，應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論．①當(dāng)a是腰時(shí)，則方程有一個(gè)根是3，代入即可求得m的值，從而求解；②當(dāng)a是底邊時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，根據(jù)一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系，從而求得其周長(zhǎng)．

解答：解：∵b、c是關(guān)于x的方程x²+mx+2-

1

2

m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴b+c=-m，bc=2-

1

2

m．
分兩種情況：
①當(dāng)a為其腰時(shí)，則b=a，或c=a，
∴方程必有一個(gè)根為3，
代入方程得：9+3m+2-

1

2

m=0，
解得m=-

22

5

，
則b+c=

22

5

，
則周長(zhǎng)是a+b+c=

37

5

；
②當(dāng)a為其底時(shí)，b=c，原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=m²-4×（2-

1

2

m）=0，
∴m₁=-4，m₂=2＞0（舍去），
∵b+c=4＞a，bc=4＞0，
∴m=-4符合題意，
∴a+b+c=3+4=7．
∴△ABC的周長(zhǎng)為

37

5

或7．
故答案為：

37

5

或7．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)及三角形的三邊關(guān)系定理．難度中等．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，將a邊進(jìn)行分類(lèi)是解題的關(guān)鍵．
一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac有如下關(guān)系：（1）△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）△＜0?方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；
一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：如果x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根，那么x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

，反過(guò)來(lái)也成立，即

b

a

=-（x₁+x₂），

c

a

=x₁x₂．
三角形的三邊關(guān)系定理：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．