Question

19、在坐標(biāo)平面上，橫縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，而頂點(diǎn)均為整點(diǎn)的多邊形稱為整點(diǎn)多邊形，求證：整點(diǎn)凸五邊形必可以找到一個(gè)四邊形至少覆蓋5個(gè)整點(diǎn)．

Answer 1

分析：由于整點(diǎn)坐標(biāo)的奇偶性共有四類：（奇，奇）、（奇，偶）、（偶，奇）、（偶，偶），則五個(gè)頂點(diǎn)中必須有兩個(gè)點(diǎn)屬于同一類，同類的兩點(diǎn)的中點(diǎn)也是整點(diǎn)，加上其余3個(gè)頂點(diǎn)中的兩個(gè)可證結(jié)論成立．

解答：解：設(shè)整點(diǎn)凸五邊形為ABCDE，而整點(diǎn)坐標(biāo)的奇偶性共有四類：（奇，奇）、（奇，偶）、（偶，奇）、（偶，偶），
故五個(gè)頂點(diǎn)中必須有兩個(gè)點(diǎn)屬于同一類，
不妨設(shè)這兩點(diǎn)為M、N，則線段MN的中點(diǎn)Z也是整點(diǎn)．
由于五邊形五個(gè)頂點(diǎn)中除M、N外還有3個(gè)頂點(diǎn)，
∴在直線MN的同一側(cè)至少有兩個(gè)頂點(diǎn)X、Y，則以M、N、X、Y為頂點(diǎn)可作一個(gè)四邊形至少覆蓋5個(gè)整點(diǎn)M、N、X、Y、Z．

點(diǎn)評(píng)：本題通過坐標(biāo)平面考查了整點(diǎn)坐標(biāo)的奇偶性，注意整點(diǎn)坐標(biāo)的奇偶性共有四類：（奇，奇）、（奇，偶）、（偶，奇）、（偶，偶）．