Question

閱讀材料：一般地，如果一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁，x₂．那么x1+x2=-

b

a

，x1•x2=

c

a

．我們把一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系的這個(gè)結(jié)論稱為“韋達(dá)定理”．根據(jù)這個(gè)結(jié)論解決下面問(wèn)題：
已知方程4x²-2x-1=0的兩個(gè)根為x₁，x₂，不解方程，求下列代數(shù)式的值：
（1）

1

x1

+

1

x2

；
（2）x12+x22；
（3）

x2

x1

+

x1

x2

；
（4）(x1-x2)2．

Answer 1

分析：首先根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求得x₁+x₂=

1

2

，x₁•x₂=-

1

4

；然后把所求的代數(shù)式變形為兩根之積或兩根之和的形式，將x₁+x₂=

1

2

，x₁•x₂=-

1

4

代入計(jì)算即可．

解答：解：∵方程4x²-2x-1=0的兩個(gè)根為x₁，x₂，
∴x₁+x₂=

1

2

，x₁•x₂=-

1

4

；
（1）原式=

x1+x2

x1x2

=

1 2

- 1 4

=-2；

（2）原式=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=

1

4

-2×（-

1

4

）=

3

4

；

（3）原式=

(x1+x2)2-2x1x2

x1x2

=

3 4

- 1 4

=-3；

（4）原式=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=

1

4

-4×（-

1

4

）=

5

4

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．