Question

如圖3，點E、D分別是正三角形ABC、正四邊形ABCM、正五邊形ABCMN中以C點為頂點的一邊延長線和另一邊反向延長線上的點，且BE=CD，DB延長線交AE于點F．
（1）求圖1中∠AFB度數，并證明CD²=BD•EF；
（2）圖2中∠AFB的度數為

 

，圖3中∠AFB度數為

 

，在圖2、圖3中，（1）中的等式

 

；（填“成立”或“不成立”，不必證明）
（3）若將條件“正三角形、正四邊形、正五邊形”改為“正n邊形”，其它條件不變，則∠AFB度數為

 

．（可用含n的代數式表示，不必證明）

Answer 1

分析：（1）利用△ABE≌△BCD與△FBE∽△CBD得出

CD

EF

=

BD

EB

，從而得出原式正確；
（2）利用上面證明方法，可分別得出角度；
（3）由正三角形、正四邊形、正五邊形時，∠AFB的度數分別為60°，90°，108°，可得出“正n邊形”，其它條件不變，則∠AFB度數為

(n-2)•180°

n

．

解答：解：（1）在正△ABC中，AB=BC，∠ABC=∠ACB=60°
∴∠ABE=∠BCD=120°，
又∵BE=CD，
∴△ABE≌△BCD，
∴∠E=∠D
又∵∠FBE=∠CBD，
∴∠AFB=∠E+∠FBE=∠D+∠CBD=∠ACB=60°
由∠FBE=∠CBD，∠E=∠D得：△FBE∽△CBD
∴

CD

EF

=

BD

EB

，又BE=CD，
∴CD²=BD•EF；

（2）由以上不難得：△AEB≌△BDC進一步證出，
△BEF∽△BDC，得出，∠AFB的度數等于∠DCB=90°，
同理可得：∠AFB度數為108°，（1）中式子成立；
故填：90°，108°，成立；

（3）由正三角形、正四邊形、正五邊形時，∠AFB的度數分別為60°，90°，108°，可得出“正n邊形”，其它條件不變，則∠AFB度數為

(n-2)•180°

n

．
故填：

(n-2)•180°

n

．

點評：此題主要考查了正三角邊形，正四邊形的性質，正五邊形的性質與等邊三角形與相似三角形的性質，題目綜合性很強．