Question

（2012•荊州模擬）如圖，直線L₁交直線L₂于y軸上一點A（0，6），交x軸上另一點C．l₂交x軸于另一點B，二次函數(shù)y=ax²-6ax-16a （a＞0）的圖象過B、C兩點，點P是線段OC上由O向C移動的動點，線段OP=t（1＜t＜8）
（1）t為何值時，P為圓心OP為半徑的圓與l₁相切？
（2）設(shè)拋物線對稱軸與直線l₁相交于M，請在x軸上求一點N．使△AMN的周長最�。�
（3）設(shè)點Q是AC上自C向A移動的一動點，且CQ=OP=t．若△PQC的面積為s，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，當△PQC為等腰三角形時，請直接寫出t的值．

Answer 1

分析：（1）過P作l₁的垂線，若⊙P與直線l₁相切，那么P到直線l₁的距離等于⊙P的半徑即OP的長，然后通過構(gòu)建的相似三角形直接求出⊙P的半徑即可．
（2）取M關(guān)于x軸的對稱點，連接該對稱點和點A，該直線與x軸的交點即為所求的點N．
（3）首先求出點Q的坐標，然后能求出PQ的長；①以CP為底、Q的縱坐標的絕對值為高能得到關(guān)于s、t的函數(shù)關(guān)系式；②用t列出線段CP、CQ、PQ的長，若△PQC為等腰三角形，可根據(jù)CP=CQ或CQ=PQ或CP=PQ三種情況列方程求出t的值．

解答：解：（1）拋物線的解析式中，當y=0時，0=a（x²-6x-16），解得：x₁=-2，x₂=8；
∴B（-2，0）、C（8，0）．
過P作PD⊥AC于D，若⊙P與直線l₁相切，則 PD=OP=t；
易知Rt△CPD∽Rt△CAO
∴

PD

OA

=

PC

AC

，即

t

6

=

8-t

10

解得：t=3．

（2）由（1）知：拋物線的對稱軸 x=3；
由A（0，6）、C（8，0）得：直線AC y=-

3

4

x+6，則 M（3，

15

4

）．
△AMN中，AM長為定值，若△AMN的周長最小，那么 AN+MN 的值最��；
取點M關(guān)于x軸的對稱點M'，則M'（3，-

15

4

）；
設(shè)直線AM'的解析式為：y=kx+6，則：
3k+6=-

15

4

，k=-

13

4

∴直線AM'：y=-

13

4

x+6
當y=0時，x=

24

13

；即 N（

24

13

，0）．

（3）過Q作QE⊥x軸于點E，則 QE=

3

5

QE=

3

5

t，CE=

4

5

QC=

4

5

t，OE=OC-CE=8-

4

5

t；
∴Q（8-

4

5

t，

3

5

t）．
①PC=OC-OP=8-t；
則 S=

1

2

PC•QE=

1

2

×（8-t）×

3

5

t=-

3

10

t²+

12

5

t（1＜t＜8）．
②PQ²=（8-

4

5

t-t）²+（

3

5

t）²=

18

5

t²-

144

5

t+64，PC²=（8-t）²=t²-16t+64，CQ²=t²；
當PQ=PC時，

18

5

t²-

144

5

t+64=t²-16t+64，解得：t₁=0（舍去），t₂=

64

13

；
當PQ=CQ時，

18

5

t²-

144

5

t+64=t²，解得：t₁=8（舍去），t₂=

40

13

；
當PC=CQ時，t²-16t+64=t²，解得：t=4．
∴當△PQC為等腰三角形時，t₁=

64

13

、t₂=

40

13

、t₃=4．

點評：該二次函數(shù)綜合題涵蓋了直線與圓的位置關(guān)系、圖形面積的求法以及等腰三角形的判定等知識．（3）題在判定等腰三角形時，要明確不同的腰和底進行分類討論，以免漏解．