Question

如圖，直線l與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，OA、OB的長分別是關(guān)于x的方程x²﹣14x+4（AB+2）=0的兩個根（OB＞OA），P是直線l上A、B兩點(diǎn)之間的一動點(diǎn)（不與A、B重合），PQ∥OB交OA于點(diǎn)Q

1.求tan∠BAO的值

2.若S_△PAQ=S_{四邊形OQPB}時，請確定點(diǎn)P在AB上的位置，并求出線段PQ的長；

3.當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動時，在y軸上是否存在點(diǎn)M，使△MPQ為等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

 

1.由已知可得，

又∵OA²+OB²=AB²，

∴（OA+OB）²﹣2OA•OB=AB²，

即14²﹣8（AB+2）=AB²，

∴AB²+8AB﹣180=0，

∴AB=10或AB=﹣18（不合題意，舍去），

∴AB=10，

∴x²﹣14x+48=0，

解得x₁=6，x₂=8，

∵OB＞OA，∴OA=6，OB=8，

∴tan∠BAO=． （5分）

2.∵S_△PAQ=S_{四邊形OQPB}，

∴S_△PAQ=S_△AOB，

∵PQ∥BO，

∴△PQA∽△BOA，

∴，

∴．∵AB=10，

∴AP=5，

又∵tan∠BAO=，

∴sin∠BAO=，

∴PQ=PA•sin∠BAO=．（5分）

3.存在，

M點(diǎn)的坐標(biāo)分別為M₁（0，0）、M₂（0，）、M₃（0，）．（2分）

解析:（1）根據(jù)勾股定理得出OA²+OB²=AB²，求出AB．然后把AB代入等式求出x的值繼而求出OA，OB的值即可；

（2）已知S_△PAQ=S_{四邊形OQPB，證明}△PQA∽△BOA利用線段比求出AB，AP的值．知道PQ=PA•sin∠BAO，即可求解．