Question

如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，過(guò)點(diǎn)C（3，6）分別作x軸和y軸的垂線CB和CA，垂足分別為B和A，點(diǎn)P從點(diǎn)O沿OB向B以1個(gè)長(zhǎng)度單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿BC向C以2個(gè)長(zhǎng)度單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)．如果P、Q分別從O、B同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，試求：
（1）t為何值時(shí)，△PBQ的面積等于2個(gè)平方單位；
（2）若P、B、Q三點(diǎn)構(gòu)成的三角形與A、B、C三點(diǎn)構(gòu)成的三角形相似，求此時(shí)P和Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）可設(shè)OP=t，BQ=2t，則有PB=OB-OP=3-t．根據(jù)三角形的面積公式得出關(guān)于t的方程，即可求出此時(shí)t的值；
（2）分為①若△PBQ∽△ACB；②若△PBQ∽△BCA兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出P和Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）根據(jù)題意有OB=3，BC=6
∵OP=t，BQ=2t
∴PB=OB-OP=3-t（2分）
∴S_△PBQ=

1

2

PB•BQ=

1

2

•2t（3-t）=-t²+3t
當(dāng)S_△PBQ=2時(shí)，-t²+3t=2，即t²-3t+2=0（t-1）（t-2）=0
∴t₁=1，t₂=2（4分）
∴當(dāng)t=1或t=2時(shí)，△PBQ的面積等于2個(gè)平方單位．

（2）∵∠ACB=∠PBQ=90°
①若△PBQ∽△ACB
則

BP

CA

=

BQ

CB

即

3-t

3

=

2t

6

∴t=

3

2

此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為P（

3

2

，0），Q點(diǎn)坐標(biāo)為Q（3，3）（7分）
②若△PBQ∽△BCA
則

BP

CB

=

BQ

CA

即

3-t

6

=

2t

3

∴t=

3

5

此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為P（

3

5

，0），Q點(diǎn)坐標(biāo)為Q，3，

6

5

）（10分）
∴若P、B、Q三點(diǎn)構(gòu)成的三角形與A、B、C三點(diǎn)構(gòu)成的三角形相似，此時(shí)P和Q
點(diǎn)的坐標(biāo)分別為P（

3

2

，0），Q（3，3）或P（

3

5

，0），Q（3，

6

5

，3）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角形的面積公式，相似三角形的性質(zhì)，要注意的是（2）中，要根據(jù)P點(diǎn)和Q點(diǎn)的不同位置進(jìn)行分類(lèi)求解．