Question

【題目】如圖1，已如直線∥，且與、分別交于A、B兩點(diǎn)，與、分別交于C、D兩點(diǎn)，記∠ACP=∠1，∠BDP=∠2，∠CPD=∠3，點(diǎn)P在線段AB上.

(1)若∠1=25°，∠2=33°，則∠3=__________；

(2)猜想∠1，∠2，∠3之間的相等關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(3)如圖2，點(diǎn)在點(diǎn)B的南偏東23°方向，在點(diǎn)C的西南方向，利用(2)的結(jié)論，可知∠BAC=__________；

(4)點(diǎn)P在直線上且在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，其它條件不變，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠1，∠2，∠3之間的相等關(guān)系.

Answer 1

【答案】(1)58°；(2)∠1+∠2=∠3，理由見(jiàn)解析；(3)68°；(4)當(dāng)點(diǎn)P在直線上且在上方運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠1+∠3=∠2 ，當(dāng)點(diǎn)P在直線上且在上方運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠2+∠3=∠1

【解析】

（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求解；（2）∠1+∠2=∠3，作PQ∥，可得PQ∥∥，由平行線的性質(zhì)可得∠1=∠CPQ，∠2=∠DPQ，即可得∠CPD=∠CPQ+∠DPQ=∠1+∠2；（3）過(guò)A點(diǎn)作AF∥BE，則AF∥BE∥CD，即可得∠BAC=∠EBA+∠ACD=23°+45°=68°；（4）分當(dāng)點(diǎn)P在直線上且在上方運(yùn)動(dòng)時(shí)和點(diǎn)P在直線上且在的下方運(yùn)動(dòng)時(shí)兩種情況，類(lèi)比（2）的方法求解即可.

（1）∵l1∥l2，
∴∠1+∠PCD+∠PDC+∠2=180°，

在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC=180°，

∴∠3=∠1+∠2=58°，

故答案為：58°；

(2)∠1+∠2=∠3

理由如下：

作PQ∥

∵∥，所以PQ∥∥(平行公理的推論)

∴∠1=∠CPQ，∠2=∠DPQ(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等).

又∵∠CPD=∠CPQ+∠DPQ，

∴∠1+∠2=∠CPD(等量代換)；

(3) 過(guò)A點(diǎn)作AF∥BE，則AF∥BE∥CD，

則∠BAC=∠EBA+∠ACD=23°+45°=68°；

故答案為：68°；

(4)當(dāng)點(diǎn)P在直線上且在上方運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠1+∠3=∠2 ，

如圖，過(guò)P作PF∥l1，交l4于F，

∴∠1=∠FPC．

∵l1∥l2，

∴PF∥l2，

∴∠2=∠FPD.

∵∠FPD = ∠FPC + ∠CPD,

∴∠2=∠3+∠1．

當(dāng)點(diǎn)P在直線上且在的下方運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠2+∠3=∠1,

過(guò)P作PG∥l2，交l4于G，
∴∠2=∠GPC，

∵l1∥l2，

∴PG∥l1，

∴∠1=∠DPG，

∵∠CPD+∠CPG=∠GPD,

∴∠1=∠2+∠3．