Question

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P是反比例函數(shù)y＝(x＞0)圖象上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心的圓始終與y軸相切，設(shè)切點(diǎn)為A．

(1)如圖1，當(dāng)⊙P運(yùn)動(dòng)到與x軸相切，設(shè)切點(diǎn)為K，試判斷四邊形OKPA的形狀，并說(shuō)明理由；

(2)如圖2，當(dāng)⊙P運(yùn)動(dòng)到與x軸相交，設(shè)交點(diǎn)為點(diǎn)B、C．當(dāng)四邊形ABCP是菱形時(shí)，求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，求出經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】(1)四邊形OKPA是正方形，理由見(jiàn)解析；(2)A(0，)，B(1，0)，C(3，0)；(3)y＝x2﹣x+．

【解析】

（1）先證明四邊形OKPA是矩形，又PA＝PK，故可得四邊形OKPA是正方形；

（2）證明△PBC為等邊三角形；在Rt△PBG中，∠PBG＝60°，設(shè)PB＝PA＝a，BG＝，由勾股定理得：PG＝，所以P（a，），將P點(diǎn)坐標(biāo)代入y＝，求出PG＝，PA＝BC＝2，又四邊形OGPA是矩形，PA＝OG＝2，BG＝CG＝1，故OB＝OG﹣BG＝1，OC＝OG+GC＝3，即可求解；

（3）設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y＝ax2+bx+c，將（2）中三點(diǎn)坐標(biāo)分別代入，利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可.

(1)四邊形OKPA是正方形，

理由：∵⊙P分別與兩坐標(biāo)軸相切，

∴PA⊥OA，PK⊥OK，

∴∠PAO＝∠OKP＝90°，

又∵∠AOK＝90°，

∴∠PAO＝∠OKP＝∠AOK＝90°，

∴四邊形OKPA是矩形，

又∵PA＝PK，

∴四邊形OKPA是正方形；

(2)連接PB，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥BC于G，

∵四邊形ABCP為菱形，∴BC＝PA＝PB＝PC，

∴△PBC為等邊三角形，

在Rt△PBG中，∠PBG＝60°，

設(shè)PB＝PA＝a，BG＝，

由勾股定理得：PG＝，

所以P(a，)，將P點(diǎn)坐標(biāo)代入y＝，

解得：a＝2或﹣2(舍去負(fù)值)，

∴PG＝，PA＝BC＝2，

又四邊形OGPA是矩形，PA＝OG＝2，BG＝CG＝1，

∴OB＝OG﹣BG＝1，OC＝OG+GC＝3．

∴A(0，)，B(1，0)，C(3，0)；

(3)二次函數(shù)的解析式為：y＝ax2+bx+c，

根據(jù)題意得：，

解得：，

∴二次函數(shù)的解析式為：y＝x2﹣x+．