Question

【題目】如圖，已知ABED，延長AD到C使AD=DC，連接BC，CE，BC交DE于點F，若AB=BC．

（1）求證：四邊形BECD是矩形；

（2）連接AE，若∠BAC=60°，AB=4，求AE的長．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)

【解析】

（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD=BE，由此推出四邊形BECD是平行四邊形，由AB=BC根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BD⊥AC，即可推出結(jié)論；

（2）根據(jù)AB=BC，∠BAC=60°，推出△ABC是等邊三角形，得到AC=AB=4，利用四邊形BECD是矩形，求出∠ADB=∠DCE=90°，利用三角函數(shù)求出CE=BD=，再利用勾股定理求出AE.

（1）∵四邊形ABED是平行四邊形，

∴AD=BE，AC∥BE，

∵AD=DC，

∴BE=DC，

∴四邊形BECD是平行四邊形，

∵AB=BC，

∴BD⊥AC，

∴∠BDC=90°，

∴四邊形BECD是矩形；

（2）∵AB=BC，∠BAC=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴AC=AB=4，

∵四邊形BECD是矩形，

∴∠ADB=∠DCE=90°，

∴CE=BD=，

∴AE=.