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        1. 精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情
          如圖(1),在正方形ABCD中,E是AB上一點,F(xiàn)是AD延長線上一點,且DF=BE.容易證得:CE=CF;
          (1)在圖1中,若G在AD上,且∠GCE=45°.試猜想GE、BE、GD三線段之間的數量關系,并證明你的結論.
          (2)運用(1)中解答所積累的經驗和知識,完成下面兩題:
          ①如圖(2),在四邊形ABCD中∠B=∠D=90°,BC=CD,點E,點G分別是AB邊,AD邊上的動點.若∠BCD=α°,∠ECG=β°,試探索當α和β滿足什么關系時,圖(1)中GE、BE、GD三線段之間的關系仍然成立,并說明理由.
          ②在平面直角坐標中,邊長為1的正方形OABC的兩頂點A、C分別在y軸、x軸的正半軸上,點O在原點.現(xiàn)將正方形OABC繞O點順時針旋轉,當A點第一次落在直線y=x上時停止旋轉,旋轉過程中,AB邊交直線y=x于點M,BC邊交x軸于點N(如圖(3)).設△MBN的周長為p,在旋轉正方形OABC的過程中,p值是否有變化?請證明你的結論.

          【答案】分析:(1)利用正方形的性質和∠GCE=45°,求出∠GCD+∠BCE=45°,得出∠ECG=∠FCG,再根據△EBC≌△FDC,然后證出△ECG≌△FCG,即可得出結論;
          (2)①當α=2β時,(1)中的三角形的全等關系即可證明是成立的;
          ②根據(1)的證明.可以得到:AM+CN=MN,據此即可證明△MNP的周長等于正方形邊長的2倍,據此即可求解.
          解答:解:(1)∵DF=BE,∠FDC=∠EBC,BC=DC,
          ∴△EBC≌△FDC,
          ∴∠DCF=∠BCE,
          ∵∠GCE=45°,所以∠BCE+∠DCG=90°-45°=45°,
          即∠DCG+∠DCF=45°,
          于是有GC=GC,
          ∠ECG=∠FCG,
          CF=CE,
          于是△ECG≌△FCG,
          故EG=GF,即GE=BE+GD.

          (2)①α=2β,
          延長AD到F點,使DF=BE,連接CF,可證△EBC≌△FDC,
          則∠BCE+∠DCG=∠GCF,由α=2β可知∠ECG=∠GCF,
          可證△ECG≌△FCG,
          故EG=GF,即GE=BE+GD.


          ②根據(1)的證明.可以得到:AM+CN=MN.
          ∴p=BM+MN+BN=BM+AM+BN+NC=BA+BC=2.
          點評:本題主要考查了圖形的旋轉,以及正方形的性質,正確理解(1)中的證明以及結論是解題的關鍵.
          練習冊系列答案
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          CO
          AC
          =
          1
          2

          (2)如圖(2),若點E是正方形ABCD的邊CD的中點,即
          DE
          DC
          =
          1
          2
          ,過D作DG⊥AE,分別交AC、BC于點F、G.求證:
          CF
          AC
          =
          1
          3
          ;
          (3)如圖(3),若點P是正方形ABCD的邊CD上的點,且
          DP
          DC
          =
          1
          n
          (n為正整數),過點D作DN⊥AP,分別交AC、BC于點M、N,請你先猜想CM與AC的比值是多少,然后再證明你猜想的結論.
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          9
          個.

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          如圖所示,△ABC在正方形網格中,若點A的坐標為(0,4),按要求回答下列問題:
          (1)在圖中建立正確的平面直角坐標系;
          (2)根據所建立的坐標系,寫出點B和點C的坐標;
          (3)作出△ABC關于x軸的對稱圖形△A′B′C′.(不用寫作法)

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          (2)根據所建立的坐標系,寫出點B和點C的坐標;
          (3)作出△ABC關于x軸的對稱圖形△A'B'C'.(不用寫作法)

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