Question

如圖，AB是⊙O的直徑，BC、CD分別是⊙O的切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為B、D，E是BA和CD延長(zhǎng)線(xiàn)的交點(diǎn)．
（1）猜想AD與OC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）若AD與OC的積為S，⊙O的半徑r，試探究S與r的關(guān)系；
（3）當(dāng)r=3，

OD

OE

=

1

3

時(shí)，求AD和OC的值．

Answer 1

分析：（1）連接OD，由切線(xiàn)長(zhǎng)定理可證得∠COD=∠COB，由圓周角定理得到∠DAB=

1

2

∠BOD=

1

2

（∠COB+∠COD）=∠COB，再由同位角相等，兩直線(xiàn)平行得AD∥OC；
（2）連接BD，可證得Rt△ABD∽R(shí)t△OCB，故可得出

AD

OB

=

AB

OC

，再由S=AD•OC=AB•OB=2r•r即可得出結(jié)論；
（3）在Rt△OED中，由

OD

OE

=sin∠E=

1

3

可知OE=3OD，OA=OD，AE=2OA，由AD∥OC可知

AD

OC

=

AE

OE

，故AD=

2

3

OC，又因?yàn)锳D•OC=2r²，由此得到關(guān)于A(yíng)D，OC的方程組，解之即可求出OC，AD的值．

解答：解：（1）猜想：AD∥OC，
證明：連接OD，
∵CB、CD分別切⊙O于B、D兩點(diǎn)，
∴CB=CD，∠CDO=∠CBO=90°，
∠OCB=∠OCD，
∴∠COD=∠COB；
又∵∠DAB=

1

2

∠BOD=

1

2

（∠COB+∠COD）
∴∠DAB=∠COB，
∴AD∥OC．

（2）連接BD．
在△ABD和△OCB中，
∵AB是直徑，
∴∠ADB=∠OBC=90°，
又∵∠COB=∠BAD
∴Rt△ABD∽R(shí)t△OCB，
∴

AD

OB

=

AB

OC

，S=AD•OC=AB•OB=2r•r=2r²，即S=2r²；

（3）在Rt△OED中，
∵∠ODE=90°，sin∠E=

1

3

，
∴

OD

OE

=sin∠E=

1

3

，
∴OE=3OD．
∵OA=OD，
∴AE=2OA；
∵AD∥OC，
∴知

AD

OC

=

AE

OE

，
∴AD=

2

3

OC，
又∵AD•OC=2r²=18，AD＞0，OC＞0，
∴

AD•OC=18 AD= 2 3 OC

解得OC=3，AD=6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圓的綜合題，涉及到切線(xiàn)長(zhǎng)定理，切線(xiàn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角相似三角形的判定和性質(zhì)，正弦的概念，平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)等知識(shí)，綜合性比較強(qiáng)．