Question

附加題：如圖，C是線段AB上一點，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ADC=∠CEB=90°
（1）連接DE、M、N分別是AC、BC上一點，且∠MDC=∠CDE，∠NEC=∠CED，探索DM、DE、EN之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（2）延長AD、BE交于F點，連接DE，CG⊥DE于G點，連接CF，CF與DE相交于O點，OC=OE，延長GC到H點，使得CH=CF，探索BF、BH的關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出∠DCE=90°，推行DM∥EN，過取DE的中點Q，連接CQ，根據(jù)梯形的中位線性質(zhì)求出CQ=

1

2

DE=

1

2

（DM+EN），即可推出答案；
（2）根據(jù)互余兩角的關(guān)系求出∠GCD=∠GEC=∠OCE，推出∠GCA=∠OCE=∠BCH，證△FBC≌△HBC即可．

解答：解：（1）DM+EN=DE，
理由是：∵等腰直角△ADC和△BEC，
∴∠DCA=45°，∠BCE=45°，
∴∠DCE=180°-45°-45°=90°，
∴∠CDE+∠CED=180°-90°，
∵∠MDC=∠CDE，∠NEC=∠CED，
∴∠MDC+∠CDE+∠DEC+∠NEC=2×90°=180°，
∴DM∥EN，
過取DE的中點Q，連接CQ，
∵∠DCE=90°，
∴CQ=QE=DQ，
∴∠QCE=∠QEC=∠NEC，
∴CQ∥EN，
同理CQ∥DM，
即DM∥CQ∥EN，
∵Q是DE的中點，
∴MC=CN，
∴CQ=

1

2

（DM+EN），
∵CQ=QD=QE=

1

2

DE，
∴DM+EN=DE．

（2）BF=BH，BF⊥BH，
理由是：由（1）證得：∠DCE=90°，
∵∠DCE=90°，CG⊥DE，
∴∠DCG+∠ECG=90°，∠ECG+∠GEC=90°，
∴∠DCG=∠GEC，
∵CO=OE，
∴∠GEC=∠ECO，
∴∠GCD=∠ECO，
∵的三角形△ACD和△BEC，
∴∠DCA=∠ECB=45°，
∴∠GCD+∠DCA=∠OCE+∠ECB，
即∠GCA=∠FCB，
∵∠GCA=∠BCH，
∴∠BCH=∠FCB，
在△FBC和△HBC中

FC=CH ∠FCB=∠HCB BC=BC

，
∴△FBC≌△HBC，
∴BF=BH，∠FBC=∠HBC=45°，
∴∠FBH=45°+45°=90°，
∴FB⊥BH．

點評：本題考查了梯形的中位線，等腰三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)和判定等知識點的應用，解（1）的關(guān)鍵是求出CQ是梯形的中位線，解（2）小題的關(guān)鍵是證出∠FCB=∠HCB，本題綜合性比較強，主要檢查學生能否綜合運用性質(zhì)進行推理，題型較好，通過做此題培養(yǎng)了學生分析問題和解決問題的能力．