Question

如圖，已知P是正方形ABCD邊BC上一點(diǎn)，BP=3PC，Q是CD的中點(diǎn)，
（1）求證：△ADQ∽△QCP；
（2）若AB=10，連接BD交AP于點(diǎn)M，交AQ于點(diǎn)N，求BM，QN的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可表示出PC，DQ，CQ，AD的長(zhǎng)，從而根據(jù)兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且相應(yīng)的夾角相等的兩個(gè)三角形相似來(lái)進(jìn)行判定．
（2）根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例及已知不難求得BM，QN的長(zhǎng)．

解答：證明：（1）∵正方形ABCD中，BP=3PC，Q是CD的中點(diǎn)
∴PC=

1

4

-BC，CQ=DQ=

1

2

CD，且BC=CD=AD
∴PC：DQ=CQ：AD=1：2
∵∠PCQ=∠ADQ=90°
∴△PCQ∽△ADQ

（2）∵△BMP∽△AMD
∴BM：DM=BP：AD=3：4
∵AB=10，
∴BD=10

2

，
∴BM=

30

7

2

同理QN=

5

3

5

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)正方形的性質(zhì)及相似三角形的判定及性質(zhì)的綜合運(yùn)用．