Question

15、同一底上的兩底角相等的梯形是等腰梯形嗎？如果是，請給出證明（要求畫出圖形，寫出已知、求證、證明）．如果不是，請給出反例（只需畫圖說明）．

Answer 1

分析：是等腰梯形．做法有多種，可以通過添加輔助線，利用等腰梯形的判定方法進行證明．

解答：解：是等腰梯形．（1分）
已知：梯形ABCD，AD∥BC且∠B=∠C（或∠A=∠D），（1分）
求證：梯形ABCD是等腰梯形．（1分）
證明-：過點A作AE∥DC，交BC于E，（1分）
∵AD∥BC，AE∥DC，
∴四邊形AECD是平行四邊形，
∴∠AEB=∠C，AE=DC．（1分）
∵∠B=∠C，
∴∠AEB=∠B．（1分）
∴AB=AE．（1分）
∴AB=DC．
∴梯形ABCD是等腰梯形．（1分）
證明二：過A、D兩點分別作AE⊥BC，DF⊥BC垂足為E、F，
∵AE⊥BC、DF⊥BC，
∴AE∥DF且∠AEB=∠DFC．
∵AD∥BC，
∴四邊形AEFD是平行四邊形．
∴AE=DF．
∵∠AEB=∠DFC，∠B=∠C，
∴△AEB≌△DFC．
∴AB=DC．
∴梯形ABCD是等腰梯形．
證明三：延長BA、CD交于E點，
∵∠B=∠C，
∴BE=CE．
∴AD∥BC，
∴∠EAD=∠B，∠EDA=∠C．
∴∠EAD=∠EDA．
∴AE=DE．
∴AB=DC．
∴梯形ABCD是等腰梯形．

點評：此題主要考查學生對等腰梯形的判定方法的掌握情況，要求學生對常用的幾種判定方法熟練掌握．