Question

在第一象限內(nèi)，以

5

為半徑的圓⊙M經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），與y軸相交于點(diǎn)C．
（1）在所給的坐標(biāo)系中作出⊙M，并求M點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（3）若D為⊙M上的最低點(diǎn)，E為x軸上的任一點(diǎn)，則在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)F，使得以點(diǎn)A、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，說出理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)求出AB的長(zhǎng)，作AB的垂直平分線交AB于N，根據(jù)垂徑定理可得AN=

1

2

AB，再求出ON，然后利用勾股定理列式求出MN的長(zhǎng)，寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)即可；
（2）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，y），利用兩點(diǎn)間距離公式列式計(jì)算即可求出y的值，從而得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，再設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答即可；
（3）先寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)（1，1-

5

），再根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊互相平行可得AE∥DF，然后分①點(diǎn)F在x軸下方，表示出點(diǎn)F的縱坐標(biāo)，再代入拋物線解析式計(jì)算求出點(diǎn)F的橫坐標(biāo)，②點(diǎn)F在x軸上方時(shí)，表示出點(diǎn)F的縱坐標(biāo)，再代入拋物線解析式計(jì)算求出點(diǎn)F的橫坐標(biāo)，從而得解．

解答：解：（1）∵A（-1，0），B（3，0），
∴AB=3-（-1）=3+1=4，
作AB的垂直平分線交AB于N，則AN=

1

2

AB=

1

2

×4=2，
∴ON=AN-AO=2-1=1，
根據(jù)勾股定理，MN=

AM2-AN2

=

5 2-22

=1，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，1），
取MN=1，以點(diǎn)M為圓心，以AM長(zhǎng)為半徑作⊙M如圖所示；

（2）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，y），
則MC=

(1-0)2+(1-y)2

=

5

，
解得y₁=-1，y₂=3，
由圖可知，點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，0），
設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），
則

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=-1

，
解得

a= 1 3 b=- 2 3 c=-1

，
所以，拋物線解析式為y=

1

3

x²-

2

3

x-1；

（3）∵D為⊙M上的最低點(diǎn)，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，1-

5

），
∵E為x軸上的任一點(diǎn)，以點(diǎn)A、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
∴AE∥DF，
①點(diǎn)F在x軸下方，點(diǎn)F的縱坐標(biāo)與點(diǎn)D的縱坐標(biāo)相同，為1-

5

，
∵點(diǎn)F在拋物線上，
∴

1

3

x²-

2

3

x-1=1-

5

，
整理得，x²-2x-6+3

5

=0，
△=b²-4ac=4-4（-6+3

5

）=28-12

5

，
∴x=

2± 28-12 5

2×1

=1±

7-3 5

，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為F₁（1+

7-3 5

，1-

5

），F(xiàn)₂（1-

7-3 5

，1-

5

），
此時(shí)可以分別以AD為平行四邊形的邊和對(duì)角線作一個(gè)平行四邊形，共有4個(gè)平行四邊形，
②點(diǎn)F在x軸上方時(shí)，點(diǎn)F的縱坐標(biāo)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)的長(zhǎng)度相同，為

5

-1，
∵點(diǎn)F在拋物線上，
∴

1

3

x²-

2

3

x-1=

5

-1，
整理得，x²-2x-3

5

=0，
△=b²-4ac=4-4×（-3

5

）=4+12

5

，
∴x=

2± 4+12 5

2

=1±

1+3 5

，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)分別為F₃（1+

1+3 5

，

5

-1），F(xiàn)₄（1-

1+3 5

，

5

-1），
此時(shí)，以AD為平行四邊形的邊共可以作2個(gè)平行四邊形，
綜上所述，共有6個(gè)符合條件的平行四邊形，滿足條件的F點(diǎn)有4個(gè)，分別是：
F₁（1+

7-3 5

，1-

5

），F(xiàn)₂（1-

7-3 5

，1-

5

），F(xiàn)₃（1+

1+3 5

，

5

-1），F(xiàn)₄（1-

1+3 5

，

5

-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了垂徑定理，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，平行四邊形的對(duì)邊平行的性質(zhì)，（3）難度較大，難點(diǎn)在于要分情況討論，并且點(diǎn)F在x軸下方時(shí)，點(diǎn)F確定，AD既可以為平行四邊形的邊，也可以為平行四邊形的對(duì)角線．