Question

【題目】已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．

（1）如圖1，點D是BC邊上一點（不與點B，C重合），連接AD，過點B作BE⊥AD，交AD的延長線于點E，連接CE．若∠BAD＝α，求∠DBE的大小（用含α的式子表示）；

（2）如圖2，點D在線段BC的延長線上時，連接AD，過點B作BE⊥AD，垂足E在線段AD上，連接CE．

①依題意補全圖2；

②用等式表示線段EA，EB和EC之間的數(shù)量關系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）∠DBE=.；（2）①補全圖形如圖見解析；②猜想：當D在BC邊的延長線上時，EB - EA =EC. 證明見解析.

【解析】

(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質得到∠CAB=45°，即可求出∠CAD=.根據(jù)三角形的內角和即可求出∠DBE=∠CAD=.

（2）①根據(jù)題目要求作圖即可.

②過點C作CF⊥CE，交AD的延長線于點F.根據(jù)三角形的內角和定理得到∠CAF =∠CBE，證明△ACF≌△BCE.根據(jù)全等三角形的性質有AF=BE，CF=CE.根據(jù)等腰直角三角形的性質有EF=EC.則有 AF -EA =EC，即可求出線段EA，EB和EC之間的數(shù)量關系.

（1）解: 依題意，∠CAB=45°，

∵∠BAD=α，

∴∠CAD=.

∵∠ACB=90°，BE⊥AD，∠ADC=∠BDE，

∴∠DBE=∠CAD=.

（2）解：

①補全圖形如圖

②猜想：當D在BC邊的延長線上時，EB - EA =EC.

證明：過點C作CF⊥CE，交AD的延長線于點F.

∵∠ACB=90°，

∴∠ACF=∠BCE.

∵CA=CB，∠CAF =∠CBE，

∴△ACF≌△BCE.

∴AF=BE，CF=CE.

∵∠ECF=90°，

∴EF=EC.

即AF -EA =EC.

∴EB -EA =EC.