Question

如圖所示，某地計(jì)劃將一塊形狀為銳角三角形ABC的空地進(jìn)行生態(tài)環(huán)境改造．已知△ABC的邊BC長(zhǎng)120米，高AD長(zhǎng)80米，計(jì)劃將它分割成△AHG、△BHE、△GFC和矩形EFGH四部分，其中矩形EFGH的一邊EF在邊BC上．其余兩個(gè)頂點(diǎn)H、G分別在邊AB、AC上．現(xiàn)計(jì)劃在△AHG上種花，每平方米投資12元；在△BHE、△FCG上都種草，每平方米投資8元；在矩形EFGH上興建愛心魚塘，每平方米投資5元，設(shè)矩形的一邊FG長(zhǎng)為x米．
（1）用含x的式子表示矩形的一邊HG的長(zhǎng)度；
（2）為了美觀，若要將愛心魚塘建成正方形，這個(gè)魚塘的邊長(zhǎng)是多少？
（3）當(dāng)種草的面積與種花的面積相等時(shí)，求FG的長(zhǎng)；
（4）根據(jù)設(shè)計(jì)要求HG的長(zhǎng)度不＜FG的長(zhǎng)度，求當(dāng)矩形EFGH的邊FG為多少米時(shí)，△ABC空地改造總投資最��？最小值為多少？

Answer 1

解：（1）∵FG=x，則AK=80-x
由△AHG∽△ABC，BC=120，AD=80，
可得：=，
∴HG=120-x．

（2）若四邊形EFGH為正方形，則FG=HG，
即x=120-x，解得x=48．
∴這個(gè)魚塘的邊長(zhǎng)是48米時(shí)，建成正方形．

（3）∵BE+FC=120-（120-x）=x，
∴•（120-x）•（80-x）=×x•x，解得x=40．
∴當(dāng)FG的長(zhǎng)為40米時(shí)，種草的面積和種花的面積相等．

（4）設(shè)改造后的總投資為W元，
W=•（120-x）•（80-x）+×x•x•8+x（120-x）•5=7.5x²-840x+57600，
∴當(dāng)x=-==56時(shí)，W的值最小．
因?yàn)楦鶕?jù)設(shè)計(jì)要求HG≥FG，即120-x≥x，x≤48，
∴當(dāng)x=48時(shí)，W_最小=7.5×48²-840×48+57600=34560．
∴當(dāng)矩形EFGH的邊FG長(zhǎng)為48米時(shí)，空地改造的總投資最小，最小值為34560元．
分析：（1）根據(jù)HG∥BC，判斷出△AHG∽△ABC，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)解答；
（2）根據(jù)魚塘長(zhǎng)寬相等列出方程解答；
（3）轉(zhuǎn)化為三角形的面積，利用三角形的面積公式列出方程解答；
（4）根據(jù)改造后的總投資與矩形EFGH的面積之間的關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系式，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最小值問題解答．
點(diǎn)評(píng)：此題是一道綜合性應(yīng)用題，涉及三角形面積、四邊形面積、二次函數(shù)最值等問題，難度較大．