Question

如圖，△ABC與△DEC是兩個(gè)全等的直角三角形，∠ACB=∠CDE=90°，∠CAB=∠DCE，AB=4，BC=2，△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，CD、CE分別與AB相交于點(diǎn)F、G（都不與A、B點(diǎn)重合），設(shè)BG=x．回答下列問(wèn)題：
（1）設(shè)CG=y₁，請(qǐng)?zhí)骄縴₁與x的函數(shù)關(guān)系，并直接寫(xiě)出y₁的最小值；
（2）設(shè)AF=y₂，請(qǐng)?zhí)骄縴₂與x的函數(shù)關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，首先利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)，再利用三角形的面積為定值即可求出CH的長(zhǎng)，進(jìn)而得到BH的長(zhǎng)，在直角三角形CHG中利用勾股定理即可得到究y₁與x的函數(shù)關(guān)系，由函數(shù)關(guān)系式可求出y₁的最小值；
（2）易證△ACG∽△CGF，由相似三角形的性質(zhì)可得

FG

CG

=

CG

AG

，即CG²=AG•FG，再用含有x和y2的代數(shù)式表示AG和FG的長(zhǎng)，代入整理即可得到y(tǒng)₂與x的函數(shù)關(guān)系．

解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，
在△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=4，BC=2，
∴AC=

AB2-BC2

=2

3

，
∵

AC•BC

2

=

CH•AB

2

，
∴CH=

AC•BC

AB

=

2 3 ×2

4

=

3

，
∴BH=

BC2-CH2

=1，
∵BG=x，
∴HG=1-x，
在Rt△CHG中，
CG²=CH²+HG²，
即y₁²=（

3

）²+（1-x）²
∴y1=

(x-1)2+3

，
∴y₁的最小值是當(dāng)x=1時(shí)是

3

；

（2）∵∠CAB=∠DCE，∠FGC=∠FGC，
∴△ACG∽△CGF，
∴

FG

CG

=

CG

AG

，
即CG²=AG•FG，
∵BG=x，AB=4，AF=y₂，
∴AG=4-x，F(xiàn)G=4-x-y₂，
∴3+（1-x）²=（4-x）（4-x-y₂），
∴y₂=

6x-12

x-4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用、相似三角形的判定和性質(zhì)，題目的綜合性很強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的解題能力要求很高，題目難度中等．