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        1. (2012•臺州模擬)如圖1,矩形OABC的頂點O為原點,點E在AB上,把△CBE沿CE折疊,使點B落在OA邊上的點D處,點A、D坐標分別為(10,0)和(6,0),拋物線過點C、B.
          (1)求C、B兩點的坐標及該拋物線的解析式;
          (2)如圖2,長、寬一定的矩形PQRS的寬PQ=1,點P沿(1)中的拋物線滑動,在滑動過程中PQ∥x軸,且RS在PQ的下方,當P點橫坐標為-1時,點S距離x軸個單位,當矩形PQRS在滑動過程中被x軸分成上下兩部分的面積比為2:3時,求點P的坐標;
          (3)如圖3,動點M、N同時從點O出發(fā),點M以每秒3個單位長度的速度沿折線ODC按O→D→C的路線運動,點N以每秒8個單位長度的速度沿折線OCD按O?C?D的路線運動,當M、N兩點相遇時,它們都停止運動.設(shè)M、N同時從點O出發(fā)t秒時,△OMN的面積為S.①求出S與t的函數(shù)關(guān)系式,并寫出t的取值范圍:②設(shè)S是①中函數(shù)S的最大值,那么S=______.

          【答案】分析:(1)本題可根據(jù)折疊的性質(zhì)進行求解.根據(jù)折疊的性質(zhì)可知:CD=BC=OA,可在直角三角形OCD中用勾股定理求出OC的長,即可求出C、B的坐標,將這兩點坐標代入拋物線中即可求出拋物線的解析式.
          (2)先根據(jù)x=-1時,P的縱坐標求出PS的長即矩形的長,然后根據(jù)矩形被x軸分成上3下2兩部分,可求出此時P點的縱坐標,代入拋物線中即可求出P點的坐標.
          (3)一:本題要分三種情況進行討論:
          ①當0≤t≤1時,此時N在OC上.M在OD上.可用t表示出OM、ON的長,進而可求出S、t的函數(shù)關(guān)系式.
          ②當1<t≤2時,此時N在CD上,M在OD上.過N作x軸的垂線,在構(gòu)建的直角三角形中,用ND的長求出△OMN的高,而后同①.
          ③當2<t≤時,此時,N、M均在CD上.先用t表示出NM的長,然后過O作OH⊥CD于H,在直角三角形OCH(或ODH)中,用OC的長和∠OCD的正弦值求出△OMN中NM邊上的高.
          二:根據(jù)一的函數(shù)的性質(zhì)及自變量的取值范圍即可求出S的最大值及對應(yīng)的t的值.
          解答:解:(1)∵A(10,0),D(6,0),
          ∴OA=10,OD=6,
          又∵四邊形OCBA為矩形,
          ∴∠COA=∠BAO=90°OC=AB=BC=OA=10.
          又∵△CED為△CBE沿CE翻折得到的,
          ∴CD=CB=10,
          ∴在Rt△COD中,由勾股定理得:OC==8.
          ∴C(0,8),B(10,8),
          又∵C、B均在y=x2+bx+c上,
          ,
          ,
          ∴y=x2-2x+8;

          (2)當x=-1時,y=×(-1)2-2×(-1)+8=,
          ∴此時P(-1,),
          又∵S距離x軸上方個單位,
          ∴PS=-=8,
          ∴矩形PQRS的長為8,寬為1,
          設(shè)PQRS在下滑過程中交x軸分別于G、H兩點.
          則由題意知:,

          ∴PG=PS=
          故P的縱坐標為,
          ∴設(shè)P(a,),則a2-2a+8=,
          ∴a1=4,a2=6,(1分)
          ∴P(4,)或(6,);

          (3)∵點M的速度是每秒3個單位長度,點N的速度是每秒8個單位長度,
          ∴3t+8t=6+8+10,
          解得t=
          ①當0≤t≤1時,此時N在OC上.M在OD上.
          ∴S△OMN=OM•NH=×3t×8t=12t2,
          此時,當t=1時,S=12,
          ②當1<t≤2時,此時N在CD上,M在OD上.
          則DN=18-8t,
          過N作NH⊥OD于H,
          =sin∠CDO==
          ∴NH=DN=(18-8t)=(9-4t).
          ∴S△OMN=OM•ON,
          =×(9-4t)×3t,
          =-t2+t,
          =-(t-2+,
          ∴當t=時,S==12.15.
          ③當2<t≤時,此時,N、M均在CD上,
          則MN=24-11t,
          過O作OH⊥CD于H,
          則由等面積得:OH=,
          ∴S△OMN=OH•MN=××(24-11t)=-t+,
          此時當t=2時,S=
          點評:本題主要考查了矩形的性質(zhì)、圖形的折疊變換、圖形面積的求法以及二次函數(shù)的應(yīng)用等知識.
          綜合性強,考查學(xué)生分類討論,數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.
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