Question

如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2，邊BC在x軸上，邊AB在y軸上，將一把三角尺如圖放置（圖1），其中M為AD的中點(diǎn)，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)三角尺．
（1）當(dāng)三角尺的一邊經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)，此時(shí)三角尺的另一邊和AB邊交于點(diǎn)E₁（如圖2），求此時(shí)直線PM的解析式；
（2）繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角尺，三角尺的一邊與x軸交于點(diǎn)G，三角尺的另一邊與AB交于E₂（如圖3），PM的延長(zhǎng)線與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，若三角形GE₂F的面積為4，求此時(shí)直線PM的解析式；
（3）當(dāng)旋轉(zhuǎn)到三角尺的一邊經(jīng)過點(diǎn)B，另一直角邊的延長(zhǎng)線與x軸交于點(diǎn)G（如圖4），求此時(shí)三角形GOF的面積．

Answer 1

分析：（1）通過作輔助線利用三角形相似求出PM于x軸的交點(diǎn)G的坐標(biāo)，M的坐標(biāo)容易求出，然后根據(jù)待定系數(shù)法求出直線的解析式．
（2）通過作輔助線利用證明三角形全等得到E2F=GM，利用三角形的面積等于4求出GM的值，再根據(jù)勾股定理求出AE2的長(zhǎng)后確定E2的坐標(biāo)，最后根據(jù)待定系數(shù)法求直線的解析式．
（3）通過作輔助線利用證明三角形全等得到OF=GM，利用勾股定理OM的值，利用三角形全等求出OF的值，從而求出三角形的底與高，從而求解．

解答：解：（1）過點(diǎn)M作MH⊥x軸于點(diǎn)H，設(shè)PM交x軸于點(diǎn)G．
∴∠MHG=90°，MH=CD
∵四邊形ABCD是正方形
∴∠D=90°，AD=CD=2
∴∠MHG=∠D
∵M(jìn)是AD得中點(diǎn)
∴MD=

1

2

AD=1，M（1，2）
由旋轉(zhuǎn)可知∠AMG=∠HMC
∵∠HMC=∠MCD
∵∠AMG=∠MGC
∴∠MGC=∠MCD
∴△GHM∽△CDM
∴

GH

CD

=

HM

MD

∴

GH

2

=

2

1

∴GH=4
∴GB=3
∴G（-3，0）
設(shè)直線PM的解析式為：y=kx+b，由題意得

2=k+b 0=-3k+b

解得：

k= 1 2 b= 3 2

∴直線PM的解析式為：y=

1

2

x+

3

2

（2）作FQ⊥AB于Q，RG⊥BG于G交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R．
∴QF=GR，∠FQA=∠R=90°
∵∠PMN=90°
∴∠AE₂M=∠RMG
∴△FQE₂≌△GRM
∴E₂F=MG
∵S_△FE2G=4
∴

1

2

E₂F•MG=4
∴E₂F=2

2

，
∵△AE₂M≌△DFM
∴E₂M=FM
∴E₂M=

2

，∵AM=1，由勾股定理得：
AE₂=1
∴E₂（0，1）
設(shè)PM的解析式為：y=kx+b由題意得：

2=k+b 1=b

解得：

k=1 b=1

∴直線的解析式為y=x+1

（3）過點(diǎn)F作FH⊥AO于H，GT⊥OC于G，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T
∴△FHO≌△GTM
∴FO=GM
∵AM=1，AO=2，由勾股定理得：
OM=

5

∵△AMO≌△DMF
∴MF=OM
∴OF=2

5

∴GM=2

5

∴S_△GOF=

1

2

×2

5

×2

5

=10
∴三角形GOF的面積為10

點(diǎn)評(píng)：本題是一道一次函數(shù)的綜合試題，考查了全等三角形的運(yùn)用、相似三角形的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、以及三角形面積公式的運(yùn)用，本題難度較大，對(duì)學(xué)生的綜合理解能力要求較高．