Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c過A（3，3.5）、B（4，2）、C（0，2）三點(diǎn)，點(diǎn)P是x軸上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖甲所示，連接AC、CP、PB、BA，是否存在點(diǎn)P，使四邊形ABPC為等腰梯形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；
（3）點(diǎn)H是題中拋物線對(duì)稱軸l上的動(dòng)點(diǎn)，如圖乙所示，求四邊形AHPB周長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法，將點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)代入解析式即可求得；
（2）根據(jù)等腰梯形的判定方法分別從PC∥AB與BP∥AC去分析，注意不要漏解；
（3）首先確定點(diǎn)P與點(diǎn)H的位置，再求解各線段的長(zhǎng)即可．

解答：解：∵拋物線y=ax²+bx+c過A（3，3.5）、B（4，2）、C（0，2）三點(diǎn)，
∴

9a+3b+c=3.5 16a+4b+c=2 c=2

解得：

a=- 1 2 b=2 c=2

，
∴此拋物線的解析式為：y=-

1

2

x²+2x+2；

（2）∵A（3，3.5）、B（4，2）、C（0，2），
∴AC=

3 5

2

，AB=

13

2

，
①若PC∥AB，則過點(diǎn)B作BE∥x軸，過點(diǎn)A作AE∥y軸，交點(diǎn)為E，
∴AE=1.5，BE=1，
當(dāng)

OC

AE

=

OP

BE

時(shí)，AB∥PC，
∴

2

1.5

=

OP

1

，
∴OP=

4

3

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（

4

3

，0），
∴BP=

10

3

，
∴AP≠BC，
∴此點(diǎn)不符合要求，舍去；
②若BP∥AC，則過點(diǎn)A作AE∥y軸，過點(diǎn)C作CE∥x軸，相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF∥y軸，
當(dāng)

AE

BF

=

CE

PF

時(shí)，BP∥AC，
∴

1.5

3

=

2

PF

，
解得：PF=4，
∴點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，
∴PC=2≠AB．
∴此點(diǎn)不符合要求，舍去；

（3）過A作對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，過B作x軸對(duì)稱點(diǎn)B′，連接A′B′，分別交對(duì)稱軸與x軸于H點(diǎn)、P點(diǎn)，則這兩點(diǎn)即為所求．
∴AH=A′H，PB=PB′，
∴AB+AH+PH+PB=AB+A′H+HP+PB′=AB+A′B′，
∵拋物線的y=-

1

2

x²+2x+2的對(duì)稱軸為：x=2，
∵A（3，3.5），B（4，2），
∴A′（1，3.5），B′（4，-2），
∴AB=

13

2

，A′B′=

157

2

，
∴四邊形AHPB周長(zhǎng)的最小值為：

13

2

+

157

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，等腰梯形的判定與性質(zhì)以及周長(zhǎng)和最小問題．此題比較復(fù)雜，注意數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用．