Question

如圖，⊙P與⊙O相交于A、B兩點(diǎn)，⊙P經(jīng)過(guò)圓心O，點(diǎn)C是⊙P的優(yōu)弧上

AB

任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），連接AB、AC、BC、OC．
（1）指出圖中與∠ACO相等的一個(gè)角；
（2）當(dāng)點(diǎn)C在⊙P上什么位置時(shí)，直線CA與⊙O相切？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)∠ACB=60°時(shí)，兩圓半徑有怎樣的大小關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明你的理由．

Answer 1

分析：要使直線CA與⊙O相切，只要證得∠OAC=90°即可；根據(jù)第二問(wèn)第三問(wèn)就不難求得了．

解答：解：（1）連接OA，OB．
在⊙O中，∵OA=OB，
∴

OA

=

OB

，
∴∠ACO=∠BCO；

（2）連接OP，并延長(zhǎng)與⊙P交于點(diǎn)D．
若點(diǎn)C在點(diǎn)D位置時(shí)，直線CA與⊙O相切
理由：連接AD，OA，則∠DAO=90°
∴OA⊥DA
∴DA與⊙O相切
即點(diǎn)C在點(diǎn)D位置時(shí)，直線CA與⊙O相切．

（3）當(dāng)∠ACB=60°時(shí)，兩圓半徑相等；
理由：作直徑OD，連接BD，AD，OA，
∵∠ADB=∠ACB=60°，PO垂直平分AB，
∴

AO

=

BO

，
∵∠ADO=∠BDO，
∴∠ADO=30°，
∵OD是直徑，
∴∠DAO=90°，
∴OA=

1

2

OD，
∴OA=PO，
∴當(dāng)∠ACB=60°時(shí)，兩圓半徑相等．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等弧所對(duì)的圓周角相等、直徑所對(duì)的圓周角等于90°，切線的判定等知識(shí)．具有一定的綜合性和難度．