Question

在下圖中，直線l所對應的函數關系式為y=-

1

5

x+5，l與y軸交于點C，O為坐標原點．
（1）請直接寫出線段OC的長；
（2）已知圖中A點在x軸的正半軸上，四邊形OABC為矩形，邊AB與直線l相交于點D，沿直線l把△CBD折疊，點B恰好落在AC上一點E處，并且EA=1．
①試求點D的坐標；
②若⊙P的圓心在線段CD上，且⊙P既與直線AC相切，又與直線DE相交，設圓心P的橫坐標為m，試求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）直線l所對應的函數關系式為y=-

1

5

x+5，則b=5，所以點C的坐標為（0，5），OC=5；
（2）①：設D點的橫坐標為m，點D在直線l上，則它的縱坐標為：-

1

5

m+5由于四邊形CBAO是矩形，有BC=OA=m，CA=CE+AE=m+1
在Rt△OAC中，由勾股定理知，OA²+OC²=AC²，即m²+5²+（m+1）²，求解可得到m的值，從而求得D點的坐標為（12，

13

5

）；
②由于△BCD和△CDE關于直線L對稱，所以⊙P與直線AC相切，與DE相交相當于與直線BC相切，與BD相交，過點P作PM⊥OA，交OA于M，交BC于N，作PH⊥AB，交AB于H，由題意知：只要PN＞PH即可，就可求得m的取值范圍．

解答：解：（1）OC=5；

（2）①解法一：設D點的橫坐標為m，由已知得，
它的縱坐標為：-

1

5

m+5
∴BC=OA=m，CA=CE+AE=m+1，
在Rt△OAC中，OA²+OC²=AC²，即m²+5²=（m+1）²，
解得m=12．
∴-

1

5

m+5=

13

5

，即D點的坐標為(12，

13

5

)；

解法二：設D點的橫坐標為m，由已知得，
它的縱坐標為：-

1

5

m+5，∴AD=-

1

5

m+5，DE=AB-AD=

1

5

m，
在Rt△ADE，EA²+ED²=AD²，即12+（

1

5

m）²=（-

1

5

m+5）²，解得m=12，
∴-

1

5

m+5=

13

5

，即D點的坐標為（12，

13

5

）；

解法三：設D點的橫坐標為m，由已知得，它的縱坐標為：-

1

5

m+5，
在Rt△OAC和Rt△ADE中，∠AOC=∠AED=90°，∠ACO+∠OAC=90°，∠OAC+∠EAD=90°，
∴∠ACO=∠EAD，
∴Rt△OAC∽Rt△ADE，
∴

AC

AD

=

OC

AE

，即：

m+1

- 1 5 m+5

=

5

1

，解得m=12，
∴-

1

5

m+5=

13

5

，即D點的坐標為（12，

13

5

）；

②由于△BCD和△CDE關于直線L對稱，
所以⊙P與直線AC相切，與DE相交相當于與直線BC相切，與BD相交，
過點P作PM⊥OA，交OA于M，交BC于N；作PH⊥AB，交AB于H，
由題意知：只要PN＞PH即可，
PN=MN-PM=

1

5

m，PH=12-m，即：

1

5

m＞12-m，解得m＞10，
又P在線段CD上，所以m≤12，
即m的取值范圍是10＜m≤12．

點評：本題利用了：①折疊的性質：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等；②一次函數的圖象的性質，矩形的性質，相切的概念，全等三角形的判定和性質，勾股定理求解．