Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)F在CD上，點(diǎn)O是BF的中點(diǎn)，以BF為直徑的半圓與AD相切于點(diǎn)E．
（1）求證：點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)；
（2）設(shè)BF=5，求正方形ABCD的邊長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：連接OE，
∵以BF為直徑的半圓與AD相切于點(diǎn)E，
∴OF⊥AD，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠D=90°，
∴OE∥AB∥DF，
∵OB=OF，
∴AE=DE，
即點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)；

（2）解：設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，
則AB=BC=CD=AD=x，
∵BF=5，
∴OE=，
∵OE=（AB+DF），
∴DF=5-x，
∴CF=CD-DF=2x-5，
在Rt△BCF中，BF²=BC²+CF²，
即5²=x²+（2x-5）²，
解得：x=4或x=0（舍去），
∴正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4．
分析：（1）首先連接OE，由切線的性質(zhì)，易證得OE∥AB∥DF，由于OB=OF，即可證得點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)；
（2）首先設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，根據(jù)梯形中位線的性質(zhì)，可表示出DF的長(zhǎng)，即而表示出CF的長(zhǎng)，由勾股定理即可求得方程：5²=x²+（2x-5）²，解此方程即可求得答案．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)、梯形的中位線的性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．