Question

（2013•金華模擬）探究：如圖（1），在?ABCD的形外分別作等腰直角△ABF和等腰直角△ADE，∠FAB=∠EAD=90°，連接AC，EF．在圖中找一個(gè)與△FAE全等的三角形，并加以證明．
應(yīng)用：以?ABCD的四條邊為邊，在其形外分別作正方形，如圖（2），連接EF，GH，IJ，KL．若?ABCD的面積為6，則圖中陰影部分四個(gè)三角形的面積和為

12

．
推廣：以?ABCD的四條邊為矩形長(zhǎng)邊，在其形外分別作長(zhǎng)與寬之比為

3

矩形，如圖（3），連接EF，GH，IJ，KL．若圖中陰影部分四個(gè)三角形的面積和為12

3

，求?ABCD的面積？

Answer 1

分析：探究：求出AF=AB，AE=AD=BC，∠FAE=∠ABC，根據(jù)SAS推出兩三角形全等即可；
應(yīng)用：過(guò)B作BO⊥AD于O，BS⊥CD于S，過(guò)E作EQ⊥FA，交FA延長(zhǎng)線于Q，過(guò)K作KW⊥LD于W，過(guò)I作IZ⊥JC交JC的延長(zhǎng)線于Z，過(guò)G作GR⊥BH于R，根據(jù)平行四邊形的面積得出S_{平行四邊形ABCD}=AD×BO=CD×BS=6，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AD=BC，AB=CD，∠BAD=∠BCD，求出∠EAQ=∠BAD=∠BCS，證△EQA≌△BSC，求出EQ=BS，求出AF×EQ=CD×BS=6，推出S_△EAF=

1

2

AF×EQ=3，同理S_△CIJ=3，S_LDK=

1

2

LD×KW=

1

2

AD×BO=

1

2

×6=3，即可得出答案；
推廣：過(guò)B作BO⊥AD于O，BS⊥CD于S，過(guò)E作EQ⊥FA，交FA延長(zhǎng)線于Q，過(guò)K作KW⊥LD于W，求出S_{平行四邊形ABCD}=AD×BO=CD×BS，設(shè)AD=BC=

3

a，AB=CD=

3

b，∠BAD=∠BCD，求出∠EAQ=∠BAD=∠BCS，∠Q=∠BSC=90°，證△EQA∽△BSC，求出BS=

3

EQ，求出S_{平行四邊形ABCD}=6S_△EAF，同理S_{平行四邊形ABCD}=6S_△LDK=6S_△GBH=6S_△ICJ，求出S_△EAF=S_△LDK=S_△GBH=S_△ICJ=3

3

，即可得出答案．

解答：探究：△ABC或△ADC，
證明：∵△AFB和△ADE是等腰直角三角形，
∴AF=AB，AE=AD，∠FAB=∠EAD=90°，
∴∠FAE+∠DAB=360°-90°-90°=180°，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC=AE，AB=CD=AF，AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∴∠FAE=∠ABC，
在△FAE和△ABC中

AF=AB ∠FAE=∠ABC AE=BC

，
∴△FAE≌△ABC，
同法可求△FAE≌△CDA；


應(yīng)用：
解：過(guò)B作BO⊥AD于O，BS⊥CD于S，過(guò)E作EQ⊥FA，交FA延長(zhǎng)線于Q，過(guò)K作KW⊥LD于W，過(guò)I作IZ⊥JC交JC的延長(zhǎng)線于Z，過(guò)G作GR⊥BH于R，
則∠Q=∠BSC=90°，S_{平行四邊形ABCD}=AD×BO=CD×BS=6，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴設(shè)AD=BC=a，AB=CD=b，∠BAD=∠BCD，
∵四邊形ABGF、四邊形BCIH、四邊形CDKJ、四邊形ADKL是正方形，
∴AE=AD=BC，DK=CD=AB，∠EAD=∠FAB=90°，
∴∠EAF+∠BAD=360°-90°-90°=180°，
∵∠EAQ+∠EAF=180°，
∴∠EAQ=∠BAD=∠BCS，
在△EQA和△BSC中

∠EAQ=∠BCS ∠Q=∠BSC AE=BC

，
∴△EQA≌△BSC，
∴EQ=BS，
∵AF=AB=CD，
∴AF×EQ=CD×BS=6，
∴S_△EAF=

1

2

AF×EQ=

1

2

×6=3，
同理S_△CIJ=3，S_LDK=

1

2

LD×KW=

1

2

AD×BO=

1

2

×6=3，
S_△GBH=3，
∴圖中陰影部分四個(gè)三角形的面積和為3+3+3+3=12，
故答案為：12；

推廣：
解：B作BO⊥AD于O，BS⊥CD于S，過(guò)E作EQ⊥FA，交FA延長(zhǎng)線于Q，過(guò)K作KW⊥LD于W，
則∠Q=∠BSC=90°，S_{平行四邊形ABCD}=AD×BO=CD×BS，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴設(shè)AD=BC=

3

a，AB=CD=

3

b，∠BAD=∠BCD，
∵四邊形ABGF、四邊形BCIH、四邊形CDKJ、四邊形ADKL是矩形，
∴AE=DL=a，AF=BG=b，∠EAD=∠FAB=90°，
∴∠EAF+∠BAD=360°-90°-90°=180°，
∵∠EAQ+∠EAF=180°，
∴∠EAQ=∠BAD=∠BCS，
∠Q=∠BSC=90°，
∴△EQA∽△BSC，
∴

EQ

BS

=

AE

BC

=

1

3

，
∴BS=

3

EQ，
∵AF=b，AD=

3

a，AF=b，
∴S_△EAF=

1

2

AF×EQ=

1

2

b•EQ，
∵S_{平行四邊形ABCD}=AB×BS=

3

b•

3

EQ=3×2×

1

2

b•EQ=6S_△EAF，
同理S_{平行四邊形ABCD}=6S_△LDK=6S_△GBH=6S_△ICJ，
∴S_△EAF=S_△LDK=S_△GBH=S_△ICJ，
∵圖中陰影部分四個(gè)三角形的面積和為12

3

，
∴S_△EAF=S_△LDK=S_△GBH=S_△ICJ=3

3

，
∴平行四邊形ABCD的面積是6×3

3

=18

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力和計(jì)算能力，題目比較好，求解過(guò)程類似．