Question

如圖①，過點(diǎn)（1，5）和（4，2）兩點(diǎn)的直線分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)．
（1）如果一個(gè)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，那么我們稱這個(gè)點(diǎn)是格點(diǎn)．圖中陰影部分（不包括邊界）所含格點(diǎn)的個(gè)數(shù)有

 

個(gè)（請(qǐng)直接寫出結(jié)果）；
（2）設(shè)點(diǎn)C（4，0），點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為D，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)

 

；
（3）如圖②，請(qǐng)?jiān)谥本�AB和y軸上分別找一點(diǎn)M、N使△CMN的周長(zhǎng)最短，在圖②中作出圖形，并求出點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）先利用待定系數(shù)法求得直線AB的解析式為y=-x+6；再分別把x=2、3、4、5代入，求出對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)，從而得到圖中陰影部分（不包括邊界）所含格點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）首先根據(jù)直線AB的解析式可知△OAB是等腰直角三角形，然后根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）作出點(diǎn)C關(guān)于直線y軸的對(duì)稱點(diǎn)E，連接DE交AB于點(diǎn)M，交y軸于點(diǎn)N，則此時(shí)△CMN的周長(zhǎng)最短．由D、E兩點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出直線DE的解析式，再根據(jù)y軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，即可求出點(diǎn)N的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
把（1，5），（4，2）代入得，
kx+b=5，4k+b=2，
解得k=-1，b=6，
∴直線AB的解析式為y=-x+6；
當(dāng)x=2，y=4；
當(dāng)x=3，y=3；
當(dāng)x=4，y=2；
當(dāng)x=5，y=1．
∴圖中陰影部分（不包括邊界）所含格點(diǎn)的有：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），
（2，1），（2，2），（2，3），
（3，1），（3，2），
（4，1）．
一共10個(gè)；

（2）∵直線y=-x+6與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6），
∴OA=OB=6，∠OAB=45°．
∵點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為D，點(diǎn)C（4，0），
∴AD=AC=2，AB⊥CD，
∴∠DAB=∠CAB=45°，
∴∠DAC=90°，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6，2）；

（3）作出點(diǎn)C關(guān)于直線y軸的對(duì)稱點(diǎn)E，連接DE交AB于點(diǎn)M，交y軸于點(diǎn)N，則NC=NE，點(diǎn)E（-4，0）．
又∵點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為D，∴CM=DM，
∴△CMN的周長(zhǎng)=CM+MN+NC=DM+MN+NE=DE，此時(shí)周長(zhǎng)最短．
設(shè)直線DE的解析式為y=mx+n．
把D（6，2），E（-4，0）代入，得
6m+n=2，-4m+n=0，
解得m=

1

5

，n=

4

5

，
∴直線DE的解析式為y=

1

5

x+

4

5

．
令x=0，得y=

4

5

，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，

4

5

）．
故答案為10；（6，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，橫縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)的坐標(biāo)的確定方法，軸對(duì)稱的性質(zhì)及軸對(duì)稱-最短路線問題，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．