Question

如圖所示，點(diǎn)B坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn)A坐標(biāo)為（6，12），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O開(kāi)始沿OB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BA以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A移動(dòng)．如果P、Q分別從O、B同時(shí)出發(fā)，用t（秒）表示移動(dòng)的時(shí)間（0＜t≤6），那么，
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形OPQA是梯形，此時(shí)梯形OPQA的面積是多少？
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似？
（3）若設(shè)四邊形OPQA的面積為y，試寫(xiě)出y與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出t取何值時(shí)，四邊形OPQA的面積最��？
（4）在y軸上是否存在點(diǎn)E，使點(diǎn)P、Q在移動(dòng)過(guò)程中，以B、Q、E、P為頂點(diǎn)的四邊形的面積是一個(gè)常數(shù)？若存在請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)PQ∥OA，四邊形OPQA是梯形，根據(jù)平行線分線段成比例得到BP：BO=BQ：BA，即（6-t）：6=2t：12，即可得到t，利用梯形OPQA的面積=△OAB的面積-△PBQ的面積求面積；
（2）討論：當(dāng)∠BPQ=∠BOA，即PQ∥OA，由（1）得t=3；當(dāng)∠BPQ=∠A，則Rt△BPQ∽R(shí)t△BAO，BP：BA=BQ：BO，即（6-t）：12=2t：6，即可得到t；
（3）利用y=S_△OAB-S_△BPQ=

1

2

×6×12-

1

2

×2t×（6-t），然后配成頂點(diǎn)式即可得到答案；
（4）利用以B、Q、E、P為頂點(diǎn)的四邊形的面積=梯形BQEO的面積-△OPE的面積，用t與m表示出來(lái)為

1

2

×6×（m+2t）-

1

2

×m×t，變形得到（6-

1

2

m）t+3m，當(dāng)t的系數(shù)為0時(shí)即可得到m的值．

解答：解：OP=t，PB=6-t，BQ=2t，
（1）當(dāng)PQ∥OA，四邊形OPQA是梯形，
∴BP：BO=BQ：BA，即（6-t）：6=2t：12，
∴t=3，
∴PB=3，BQ=6，
∴梯形OPQA的面積=△OAB的面積-△PBQ的面積=

1

2

×6×12-

1

2

×3×6=27，
所以當(dāng)t=3時(shí)，四邊形OPQA是梯形，此時(shí)梯形OPQA的面積為27；

（2）當(dāng)∠BPQ=∠BOA，即PQ∥OA，Rt△BPQ∽R(shí)t△BOA，
由（1）得t=3，
當(dāng)∠BPQ=∠A，則Rt△BPQ∽R(shí)t△BAO，
∴BP：BA=BQ：BO，即（6-t）：12=2t：6，
∴t=

6

5

，
所以當(dāng)t=

6

5

秒或3秒時(shí)，以點(diǎn)P、Q、B為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似；

（3）存在．
y=S_△OAB-S_△BPQ=

1

2

×6×12-

1

2

×2t×（6-t）
=t²-6t+36
=（t-3）²+27，
∵a=1，
∴t=3時(shí)，y有最小值27，
所以當(dāng)t=3秒時(shí)，四邊形OPQA的面積最小；

（4）存在．
當(dāng)E在y軸的負(fù)半軸上時(shí)，以B、Q、E、P為頂點(diǎn)不能形成四邊形，
則點(diǎn)E在y軸的正半軸上時(shí)，
設(shè)E（0，m），
所以以B、Q、E、P為頂點(diǎn)的四邊形的面積=梯形BQEO的面積-△OPE的面積=

1

2

×6×（m+2t）-

1

2

×m×t
=（6-

1

2

m）t+3m，
當(dāng)以B、Q、E、P為頂點(diǎn)的四邊形的面積是一個(gè)常數(shù)，則6-

1

2

m=0，解得m=12，
所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，12）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)：兩組對(duì)應(yīng)角相等的三角形相似；相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等．也考查了分類(lèi)討論思想的運(yùn)用以及三角形的面積公式．